Signals and Systems
Signals and Systems
信号与系统知识点梳理:) 参考书籍📚：Signals & Systems 2nd Edition by Oppenheim
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1. Introduction
1.1 连续时间信号与离散信号 (Continuous-Time Signals and Discrete-Time Signals)
信号 (Signal)
定义：信号是携带信息的函数 (a function that carries information)。
数学表示：一般用函数 $x(t)$ 或 $x[n]$ 来表示，其中：
- $t$ 表示连续的自变量 (independent variable)，通常是时间 (time)。
- $n$ 表示离散的自变量，通常是整数序列 (integer sequence)。
1.1.1 连续时间信号 (Continuous-Time Signal)
定义：当信号的自变量 $t$ 在整个实数集合 (real number set) 上都定义时，称为连续时间信号。
记号：$x(t)$，其中 $t \in \mathbb{R}$。
例子：
- 正弦信号 (Sine signal)：$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$
- 指数信号 (Exponential signal)：$x(t) = e^{at}$
- 音频信号 (Audio signal)：麦克风采集的语音就是连续时间信号。
特点：
- 值的变化是连续的 (continuous values)。
- 自变量是连续的 (continuous independent variable)。
1.1.2. 离散时间信号 (Discrete-Time Signal)
定义：当信号的自变量只在整数 (integer) 点上定义时，称为离散时间信号。
记号：$x[n]$，其中 $n \in \mathbb{Z}$。
例子：
- 采样信号 (Sampled signal)：将连续语音信号在时间间隔 $T$ 下采样 (sampling)，得到 $x[n] = x(nT)$。
- 数字图像 (Digital image)：由像素点组成，本质上是二维离散信号 (2D discrete signal)。
特点：
- 值可以是连续的 (例如浮点数)，也可以是量化后的离散值 (quantized values)。
- 自变量是离散的 (discrete independent variable)。
1.1.3. 连续时间与离散时间的关系 (Relation Between Continuous-Time and Discrete-Time Signals)
- 采样 (Sampling)：将连续时间信号 $x(t)$ 按照采样周期 $T$ 取样，得到 $x[n] = x(nT)$。
- 恢复 (Reconstruction)：在满足采样定理 (Sampling Theorem) 的条件下，可以通过插值 (interpolation) 从 $x[n]$ 恢复 $x(t)$。
1.1.4. 图形对比 (Graphical Comparison)
- 连续时间信号：在二维平面上是一条连续曲线 (smooth curve)。
- 离散时间信号：在二维平面上是一系列离散点 (sequence of points)。
1.2. 三大自变量变换 (Three Basic Independent Variable Transformations)
在信号与系统中，我们经常会对信号的 自变量 (independent variable) 进行变换。这些变换不会改变信号本身的“形状”，但会影响它在时间 (time) 或序列 (index) 上的表现。
主要有三大类：
- 时移 (Time Shifting)
- 时反 (Time Reversal)
- 时缩放 (Time Scaling)
1.2.1 时移 (Time Shifting)
- 定义：将信号整体沿时间轴平移 (shift along the time axis)。
- 连续时间：$x(t) \to x(t - t_0)$
- 离散时间：$x[n] \to x[n - n_0]$
解释：
- 如果 $t_0 > 0$，信号向右平移 (delay，延迟)。
- 如果 $t_0 < 0$，信号向左平移 (advance，提前)。
例子：
- 原信号：$x(t) = u(t)$ (单位阶跃信号 unit step signal)。
- 时移：$x(t-2) = u(t-2)$，信号从 $t=2$ 开始才为 1。
1.2.2. 时反 (Time Reversal / Time Folding)
- 定义：将信号在时间轴上进行翻转 (flip around time axis)。
- 连续时间：$x(t) \to x(-t)$
- 离散时间：$x[n] \to x[-n]$
解释：
- 把信号在 $t=0$ 作为对称轴进行镜像 (mirror reflection)。
例子：
- 原信号：$x(t) = e^{-t}u(t)$。
- 时反：$x(-t) = e^{t}u(-t)$，即原本定义在 $t>0$ 的信号，现在翻转到 $t<0$。
1.2.3. 时缩放 (Time Scaling)
- 定义：对时间进行“拉伸或压缩” (stretching or compressing in time)。
- 连续时间：$x(t) \to x(at)$，其中 $a \neq 0$。
- 离散时间：$x[n] \to x[kn]$，其中 $k$ 为整数。
解释：
- 如果 $|a| > 1$，信号被压缩 (compression)，信号变化得更快。
- 如果 $0 < |a| < 1$，信号被拉伸 (expansion)，信号变化得更慢。
- 如果 $a < 0$，还会伴随时反 (time reversal)。
例子：
- 原信号：$x(t) = \sin(t)$
- 缩放：$x(2t) = \sin(2t)$，频率变为原来的 2 倍，周期减半。
1.2.4. 三大变换的组合 (Combination of Transformations)
实际应用中，常常会同时出现多个变换，例如：
$x(2t - 4)$- 先缩放 (scaling by 2)，信号压缩一半；
- 再时移 (shift by +4/2 = 2)，信号延迟 2 个单位。
1.3 周期信号 (Periodic Signals)
如果一个信号 (signal) 在时间轴上不断重复出现某个基本波形 (basic waveform)，那么这个信号称为周期信号 (periodic signal)。
数学表达式：
连续时间信号 (Continuous-Time Signal)：
$$
x(t) = x(t + T), \quad \forall t \in \mathbb{R}
$$其中 $T > 0$ 称为周期 (period)。
离散时间信号 (Discrete-Time Signal)：
$$
x[n] = x[n + N], \quad \forall n \in \mathbb{Z}
$$其中 $N$ 是最小的正整数，称为基周期 (fundamental period)。
周期 (Period, $T$ or $N$)：信号重复的最小时间间隔 (smallest repeating interval)。
基频 (Fundamental frequency, $f_0$)：
对于连续时间信号：$$
f_0 = \frac{1}{T} \quad (\text{Hz})
$$对应的角频率 (angular frequency, $\omega_0$)：
$$
\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \quad (\text{rad/s})
$$
1.3.1 连续时间周期信号 (Continuous-Time Periodic Signals)
例子：
正弦信号 (Sine signal)：
$$
x(t) = \sin(\omega_0 t + \varphi), \quad T = \frac{2\pi}{\omega_0}
$$余弦信号 (Cosine signal)：
$$
x(t) = \cos(\omega_0 t)
$$
👉 注意：两个连续时间信号相加，若其频率比是有理数 (rational number)，则结果是周期信号；若是无理数 (irrational number)，结果是非周期信号 (aperiodic signal)。
1.3.2. 离散时间周期信号 (Discrete-Time Periodic Signals)
例子：
$x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)$
要求基周期 (fundamental period $N$)，需要找到最小正整数 $N$，使得：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{4}(n+N)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)
$$解得 $N = 8$。
👉 注意：离散时间正弦信号是否周期性，取决于频率是否为 $2\pi$ 的有理数倍 (rational multiple of $2\pi$)。
1.3.3. 非周期信号 (Aperiodic Signals)
- 如果信号不能在有限的时间间隔后重复自己，则称为非周期信号 (aperiodic signal)。
- 例如：$x(t) = e^{-t}u(t)$，衰减指数信号，不会重复，因此是非周期的。
1.3.4. 多个正弦叠加的周期性判断
判断下列离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求其基周期 (fundamental period)：
$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$
✅ 解题步骤
第 1 步：分解信号
该信号由两个离散时间正弦信号组成：
- $x_1[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right)$
- $x_2[n] = \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)$
我们需要分别求出它们的周期。
第 2 步：判断第一个信号 $x_1[n]$ 的周期
形式：$x_1[n] = \cos(\omega_0 n)$
条件：周期成立需 $\omega_0 N = 2\pi k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。
代入 $\omega_0 = \frac{\pi}{2}$：
$$
\frac{\pi}{2}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 4k
$$最小正整数解：$N_1 = 4$。
👉 $x_1[n]$ 的基周期为 $N_1 = 4$。
第 3 步：判断第二个信号 $x_2[n]$ 的周期
形式：$x_2[n] = \sin(\omega_0 n)$
条件同样是 $\omega _0 N = 2\pi k$。
代入 $\omega_0 = \frac{2\pi}{3}$：
$$
\frac{2\pi}{3}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 3k
$$最小正整数解：$N_2 = 3$。
👉 $x_2[n]$ 的基周期为 $N_2 = 3$。
第 4 步：求叠加信号的周期
叠加信号 $x[n] = x_1[n] + x_2[n]$ 的周期 = 两个基周期 $N_1$ 和 $N_2$ 的最小公倍数 (least common multiple, LCM)。
已知 $N_1 = 4$，$N_2 = 3$。
最小公倍数：
$$
N = \text{LCM}(4, 3) = 12
$$
🎯 最终答案
信号
$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$
是一个 周期信号 (periodic signal)，其基周期为
$$
N = 12
$$
1.4 偶信号与奇信号 (Even and Odd Signals)
偶信号 (Even Signal)
若一个信号满足对称关系：$$
x(t) = x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = x[-n]
$$则称为 偶信号 (even signal)
👉 它关于纵轴 (vertical axis) 对称 (symmetric)。奇信号 (Odd Signal)
若一个信号满足反对称关系：$$
x(t) = -x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = -x[-n]
$$则称为 奇信号 (odd signal)。
👉 它关于原点 (origin) 对称 (anti-symmetric)。
常见例子 (Examples)
偶信号 (Even Signals)：
- 余弦信号 (cosine signal)：$x(t) = \cos(t)$
- 指数对称信号 (symmetric exponential)：$x(t) = e^{-|t|}$
奇信号 (Odd Signals)：
- 正弦信号 (sine signal)：$x(t) = \sin(t)$
- 斜坡信号 (ramp signal)：$x(t) = t$
1.4.1. 一般信号的分解 (Decomposition of a General Signal)
任何信号 (any signal) 都可以分解为 偶信号部分 (even part) 和 奇信号部分 (odd part)：
$$
x(t) = x_e(t) + x_o(t)
$$
其中：
偶信号部分：
$$
x_e(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) + x(-t)\big]
$$奇信号部分：
$$
x_o(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) - x(-t)\big]
$$
👉 对离散时间信号同理：
$$
x[n] = x_e[n] + x_o[n]
$$
性质 (Properties)
偶 × 偶 = 偶
奇 × 奇 = 偶
偶 × 奇 = 奇
偶信号与奇信号正交 (orthogonal)：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x_e(t) , x_o(t) , dt = 0
$$
1.4.2 奇偶信号分解例题
我们把 $x(t)=e^{t}$ 分解为偶/奇两部分。
公式 (Decomposition formulas)
$$
x_e(t)=\tfrac12\big[x(t)+x(-t)\big],\qquad
x_o(t)=\tfrac12\big[x(t)-x(-t)\big].
$$
套用到 $x(t)=e^t$
计算 $x(-t)=e^{-t}$
偶部分 (even part):
$$
x_e(t)=\tfrac12\big(e^t+e^{-t}\big)=\cosh t \quad \text{(hyperbolic cosine)}
$$奇部分 (odd part):
$$
x_o(t)=\tfrac12\big(e^t-e^{-t}\big)=\sinh t \quad \text{(hyperbolic sine)}
$$
验证 (Check)
- $x_e(-t)=\cosh(-t)=\cosh t=x_e(t)$ → 偶 (even)
- $x_o(-t)=\sinh(-t)=-\sinh t=-x_o(t)$ → 奇 (odd)
- 相加：$\cosh t+\sinh t=e^t=x(t)$
答案：
$$
\boxed{x_e(t)=\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}},\qquad
\boxed{x_o(t)=\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}
$$
1.5 指数信号 (Exponential Signals)
指数信号指的是信号中含有 指数函数 (exponential function) 的形式。它既可以是 连续时间 (continuous-time)，也可以是 离散时间 (discrete-time)。
- 连续时间指数信号 (Continuous-Time Exponential Signal)：
$$
x(t) = A e^{st}, \quad s \in \mathbb{C}
$$
- 离散时间指数信号 (Discrete-Time Exponential Signal)：
$$
x[n] = A \alpha^n, \quad \alpha \in \mathbb{C}
$$
其中：
- $A$：幅度 (amplitude)
- $s = \sigma + j\omega$：复数形式 (complex form)，包含衰减率 (decay rate) $\sigma$ 和角频率 (angular frequency) $\omega$
- $\alpha$：离散指数基底 (exponential base)
1.5.1. 连续时间指数信号的分类 (Continuous-Time Cases)
实指数 (Real Exponential)：
$x(t) = e^{\sigma t}$- 当 $\sigma > 0$：信号随时间增长 (growing exponential)
- 当 $\sigma < 0$：信号随时间衰减 (decaying exponential)
- 当 $\sigma = 0$：信号为常数 (constant signal)
复指数 (Complex Exponential)：
$$
x(t) = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t} \cdot e^{j\omega t}
$$根据 欧拉公式 (Euler’s formula)：
$$
e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)
$$所以复指数本质上是 衰减/增长因子 (exponential envelope) 与 正弦信号 (sinusoidal signal) 的组合。
1.5.2. 离散时间指数信号的分类 (Discrete-Time Cases)
实指数 (Real Exponential)：
$$
x[n] = \alpha^n
$$- 如果 $|\alpha| < 1$，则信号随 $n$ 衰减 (decaying)
- 如果 $|\alpha| > 1$，则信号随 $n$ 增长 (growing)
- 如果 $|\alpha| = 1$，则信号振荡 (oscillatory)
复指数 (Complex Exponential)：
$$
x[n] = (re^{j\theta})^n = r^n e^{j\theta n}
$$- 其中 $r^n$：决定幅度 (magnitude) 的增长/衰减
- $e^{j\theta n}$：决定相位 (phase) 和周期性 (periodicity)
👉 特别地：当 $|\alpha|=1$ 且 $\alpha = e^{j\omega_0}$，离散信号就退化为纯粹的正弦信号。
1.5.3. 性质 (Properties)
指数信号是许多系统的特征信号 (eigenfunction)。
- 线性时不变系统 (LTI system) 对指数输入，输出仍是指数形式。
- 这就是为什么傅里叶变换 (Fourier transform) 和拉普拉斯变换 (Laplace transform) 都以指数函数为核心。
稳定性 (stability)
- 连续时间：如果指数部分衰减 ($\sigma < 0$)，信号有界；否则可能发散。
- 离散时间：如果 $|\alpha| < 1$，信号趋于 0；否则可能发散。
图形直观理解 (Intuition with Plots)
- $e^{-t}$：连续时间，随时间指数衰减。
- $(0.5)^n$：离散时间，随着 $n$ 增大而衰减。
- $e^{j\omega t}$：连续时间复指数，其实就是一个旋转的单位向量（对应正弦/余弦）。
1.6 正弦信号 (Sinusoidal Signals)
- 连续时间正弦信号 (Continuous-time sinusoidal signal)
$$
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi)
$$
- 离散时间正弦信号 (Discrete-time sinusoidal signal)
$$
x[n] = A \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$
其中：
- $A$：幅度 (amplitude) → 信号的最大值
- $\omega_0$：角频率 (angular frequency)，单位为 rad/s（连续时间）或 rad/sample（离散时间）
- $\varphi$：初始相位 (initial phase)
- $t$ 或 $n$：自变量 (independent variable)
1.6.1. 连续时间正弦信号 (Continuous-time Case)
- 周期 (period)
$$
T = \frac{2\pi}{\omega_0}
$$
- 频率 (frequency)
$$
f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi} \quad \text{单位 Hz}
$$
👉 任何连续时间正弦信号都是 严格周期信号 (strictly periodic signal)。
1.6.2. 离散时间正弦信号 (Discrete-time Case)
离散正弦有一个特殊情况：不是所有离散正弦都是周期信号！
- 周期条件：存在最小正整数 $N$，使得
$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
- 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number) → 信号周期。
- 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 无理数 (irrational number) → 信号非周期。
👉 基周期：
$$
N = \frac{2\pi k}{\omega_0}, \quad 取最小正整数解
$$
1.6.3. 与复指数的关系 (Relation with Complex Exponential)
利用 欧拉公式 (Euler’s formula)：
$$
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta
$$
我们可以写出：
$$
\cos(\omega_0 t + \varphi) = \frac{1}{2}\Big( e^{j(\omega_0 t + \varphi)} + e^{-j(\omega_0 t + \varphi)} \Big)
$$
👉 所以正弦信号其实是 两个复指数信号的叠加，这也是傅里叶分析的核心。
1.6.4. 图形特性 (Characteristics in Graphs)
- 幅度 (Amplitude) → 控制“高度”
- 周期 (Period) → 控制“宽度”
- 相位 (Phase) → 控制“水平平移”
- 频率 (Frequency) → 控制“快慢”
1.6.5 例题1
判断以下离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求出基周期 (fundamental period)：
$$
x[n] = \cos!\left(\frac{\pi}{5}n\right)
$$
✅ 解答步骤
周期条件 (Periodicity condition)
离散正弦信号的一般形式：
$$
x[n] = \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$
若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number)，则该信号是周期信号。基周期 $N$ 满足：
$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
确定角频率 (Angular frequency)
已知：
$$
\omega_0 = \frac{\pi}{5}
$$
套用周期条件
$$
\frac{\pi}{5} N = 2\pi k
$$
两边约去 $\pi$：
$$
\frac{1}{5}N = 2k
$$
$$
N = 10k
$$
最小正整数解
当 $k=1$，有：
$$
N = 10
$$
结论
- $\dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{10}$，是有理数 ✅
- 所以信号是 周期信号 (periodic signal)，基周期为：
$$
N = 10
$$
🎯 最终答案
$$
x[n] = \cos!\left(\tfrac{\pi}{5}n\right) \quad \text{是周期信号，基周期 } N=10
$$
1.6.6 例题2
例子
$$
x[n]=\cos!\big(\pi\sqrt{2},n\big)
$$
离散正弦
$$
x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)
$$
是周期的充要条件：$\dfrac{\omega_0}{2\pi}\in\mathbb{Q}$（有理数 rational）。
- 若存在最小正整数 $N$ 使
$\omega_0 N=2\pi k$（$k\in\mathbb{Z}$），则周期为 $N$。 - 这等价于 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{k}{N}\in\mathbb{Q}$。
应用于本例
$$
\omega_0=\pi\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
由于 $\sqrt{2}$ 是无理数 (irrational)，$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 亦为无理数，因此 不存在 满足条件的整数 $N,k$。
结论：$x[n]=\cos(\pi\sqrt{2},n)$ 是非周期信号 (aperiodic signal)。
更多非周期例子
- $x[n]=\cos(2\pi e,n)$（$e$ 为自然常数，$\dfrac{\omega_0}{2\pi}=e\notin\mathbb{Q}$）
- $x[n]=\cos(2\pi\alpha n)$ 只要 $\alpha\notin\mathbb{Q}$ 即为非周期。
快速判定小抄 (quick checklist)
- 写成 $x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)$。
- 计算 $\omega_0/(2\pi)$。
- 若为有理数 → 周期；若为无理数 → 非周期。
1.7 离散时间单位脉冲和单位阶越函数
在离散时间系统 (Discrete-Time Systems) 中，单位脉冲序列 (Unit Impulse Sequence) 和 单位阶跃序列 (Unit Step Sequence) 是两类最基本的信号。
离散时间单位脉冲序列 (Discrete-Time Unit Impulse Sequence)：
记作 $\delta[n]$，定义为：
$$
\delta[n] =
\begin{cases}
1, & n = 0 \\
0, & n \neq 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics)
- 只在 $n=0$ 时刻取值为1，其余时刻为0。
- 常被称为 克罗内克函数 (Kronecker Delta)。
- 在离散系统中，用来作为“测试信号 (Test Signal)”，因为它能激发系统的全部动态。
离散时间单位阶跃序列 (Discrete-Time Unit Step Sequence)
记作 $u[n]$，定义为：
$$
u[n] =
\begin{cases}
1, & n \geq 0 \\
0, & n < 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics)
- 表示一个从 $n=0$ 开始持续为1的信号。
- 在实际中表示某个信号从 $n=0$ 时刻开始“开启 (Switch On)”。
脉冲与阶跃的关系 (Relationship Between Impulse and Step)
在离散时间中，脉冲序列和阶跃序列有如下关系：
脉冲是阶跃的差分 (Impulse is the difference of Step):
$$
\delta[n] = u[n] - u[n-1]
$$阶跃是脉冲的累加和 (Step is the sum of Impulses):
$$
u[n] = \sum_{k=-\infty}^n \delta[k]
$$
👉 直观理解：
- 阶跃信号就像是一串“积累的1”；
- 脉冲信号就像是“单位增量 (Unit Increment)”——阶跃从0变到1时，就出现了一个脉冲。
✅ 总结 (Summary)
单位脉冲序列 (Unit Impulse Sequence, $\delta[n]$)：
仅在 $n=0$ 时取1，其余为0。单位阶跃序列 (Unit Step Sequence, $u[n]$)：
从 $n=0$ 开始为1，此后一直为1。关系：
- $\delta[n] = u[n] - u[n-1]$
- $u[n] = \sum_{k=-\infty}^n \delta[k]$
1.8 连续时间单位脉冲和单位阶跃函数
在连续时间系统 (Continuous-Time Systems) 中，单位脉冲函数 (Unit Impulse Function) 和 单位阶跃函数 (Unit Step Function) 是最基础的两个信号。
单位阶跃函数 (Unit Step Function, $u(t)$)
定义：
$$
u(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \geq 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics):
- 在 $t=0$ 时刻从 0 突然跳到 1。
- 代表“开关信号 (Switch Signal)”，例如电源在 $t=0$ 打开。
- 在系统分析中，常用于表示信号从某一时刻开始作用。
单位脉冲函数 (Unit Impulse Function, $\delta(t)$)
单位脉冲是一个理想化 (Idealized) 信号，定义为：
- 几乎处处为0 (Zero everywhere except at $t=0$)；
- 在 $t=0$ 处取无限大 (Infinity at $t=0$)；
- 面积 (Area) 等于 1：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) , dt = 1
$$
特点 (Characteristics)
- 也称 狄拉克函数 (Dirac Delta Function)。
- 表示一个“瞬时冲击 (Instantaneous Impulse)”或“冲击力 (Impulse Force)”。
- 常用来定义系统的 冲激响应 (Impulse Response, $h(t)$)。
阶跃与脉冲的关系 (Relationship Between Step and Impulse)
它们之间有微积分关系：
- 脉冲是阶跃的导数 (Impulse is the derivative of Step)
$$
\delta(t) = \frac{d}{dt} u(t)
$$
- 阶跃是脉冲的积分 (Step is the integral of Impulse)
$$
u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) , d\tau
$$
👉 直观解释 (Intuitive Explanation)：
- 阶跃函数 $u(t)$ 在 $t=0$ 发生突变，相当于由一个“瞬间冲击 (Impulse)”触发；
- 脉冲函数 $\delta(t)$ 表示那个“突变的瞬间”。
✅ 总结 (Summary)
单位阶跃函数 (Unit Step Function, $u(t)$)：表示一个在 $t=0$ 打开的开关信号。
单位脉冲函数 (Unit Impulse Function, $\delta(t)$)：表示瞬时冲击。
它们的关系：
- $\delta(t) = u’(t)$
- $u(t) = \int \delta(t),dt$
1.9 基本系统性质
1.9.1 记忆系统与无记忆系统
无记忆系统（Memoryless System）
如果一个系统的输出 $y(t)$ 在任意时刻 $t$ 仅仅依赖于输入 $x(t)$ 在同一时刻的值，而不依赖于输入在其他时刻的值，那么该系统就是无记忆系统。数学表达式：
$y(t) = F(x(t))$
只与当前 $x(t)$ 有关。例子：
$y(t) = 3x(t)$
$y(t) = x^2(t)$
它们的输出只依赖于输入当下的值。
记忆系统（System with Memory 或 Memory System）
如果系统的输出 $y(t)$ 在时刻 $t$ 不仅与 $x(t)$ 有关，还依赖于输入信号在其他时刻的值（过去或未来），那么该系统就是记忆系统。数学表达式：
$y(t) = F({x(\tau), \tau \neq t})$
输出依赖于输入在 $t$ 前后某些时刻的值。例子：
- 积分系统：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau$
依赖于 过去所有时刻的输入，所以有记忆。 - 延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-2)$
输出依赖于过去输入（$t-2$ 时刻），所以是记忆系统。
- 积分系统：
离散时间情况下
无记忆系统（Memoryless System）：
$y[n] = F(x[n])$
只依赖于当前时刻的输入。记忆系统（Memory System）：
$y[n] = x[n-1] + x[n]$
输出依赖于当前和过去时刻，因此是记忆系统。
直观理解
- 无记忆系统：系统只“看当前”，不关心过去，也不预测未来。
- 记忆系统：系统会“记住”输入的历史（或者依赖未来），因此需要更多存储或计算。
无记忆系统判定依据
- $x$与$y$括号里的数完全一样
无记忆系统一定是因果系统
1.9.2 可逆性与可逆系统
可逆系统（Invertible System）
如果一个系统的输出唯一地决定了输入，也就是说 不同的输入会产生不同的输出，并且我们可以根据输出恢复输入，那么这个系统就是可逆系统。- 数学表达式：
$y(t) = T[x(t)]$
存在一个逆系统（Inverse System） $T^{-1}$，使得：
$x(t) = T^{-1}[y(t)]$
- 数学表达式：
不可逆系统（Non-invertible System）
如果一个系统的输出无法唯一地决定输入，或者有多个不同的输入对应同一个输出，那么该系统就是不可逆系统。
一些例子
可逆系统的例子
缩放系统（Scaling System）：
$y(t) = 2x(t)$
其逆系统为
$x(t) = \frac{1}{2}y(t)$
所以它是可逆的。延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-3)$
其逆系统为
$x(t) = y(t+3)$
所以它是可逆的。
不可逆系统的例子
平方系统（Squaring System）：
$y(t) = [x(t)]^2$
对于同一个 $y(t)=4$，可能 $x(t)=2$ 或 $x(t)=-2$，无法唯一恢复输入，因此不可逆。求和系统（Summation System）：
$y[n] = \sum_{k=-\infty}^n x[k]$
无法从 $y[n]$ 唯一恢复出所有的 $x[n]$，因为信息丢失，所以不可逆。
直观理解
- 可逆系统：信息没有丢失，可以“解密”。
- 不可逆系统：信息部分或完全丢失，无法恢复。
1.9.3 因果性（Causality）
因果系统（Causal System）
如果系统在某一时刻的输出只依赖于 该时刻及其过去的输入值，而不依赖于未来的输入，那么该系统是因果系统。- 数学表达式：
$y(t) = F{x(\tau), \tau \leq t}$
输出只由当前和过去的输入决定。
- 数学表达式：
非因果系统（Non-causal System）
如果系统在某一时刻的输出依赖于输入信号的未来值，那么该系统是非因果系统。- 数学表达式：
$y(t) = F{x(\tau), \tau > t}$
- 数学表达式：
物理实现性（Physical Realizability）
- 实际物理系统（例如电路、通信系统）通常都是 因果的，因为系统不可能提前知道未来的输入。
- 非因果系统更多地出现在数学建模或理论分析中。
例子
因果系统的例子
- 延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-2)$
输出依赖于过去的输入（$t-2$），因此是因果的。 - 积分系统（Integration System）：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau),d\tau$
输出依赖于过去所有输入，因此是因果的。
- 延迟系统（Delay System）：
非因果系统的例子
- 提前系统（Advance System）：
$y(t) = x(t+2)$
输出在时刻 $t$ 依赖于未来时刻 $t+2$ 的输入，因此是非因果的。 - 积分未来值系统：
$y(t) = \int_t^{t+5} x(\tau),d\tau$
输出依赖于未来区间的输入，因此是非因果的。
- 提前系统（Advance System）：
直观理解
- 因果系统：只“看过去和现在”，不预测未来，符合现实世界。
- 非因果系统：需要提前知道未来，物理上不可实现，但可以作为数学工具使用。
因果性系统判定Tips
- $x$括号里的系数恒小于$y$括号里的数
1.9.4 稳定性（Stability）
在信号与系统中，我们通常关心的是 有界输入–有界输出稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability，简称 BIBO 稳定性）。
稳定系统（Stable System）
如果一个系统在输入有界（bounded input）的情况下，输出也始终保持有界（bounded output），那么该系统是稳定的。数学表达式：
对任意输入 $x(t)$，如果
$|x(t)| \leq M_x < \infty \quad \forall t$
则有
$|y(t)| \leq M_y < \infty \quad \forall t$不稳定系统（Unstable System）
如果存在某些有界输入，系统的输出会变得无界（无限大），则该系统是不稳定的。
数学条件
连续时间 LTI 系统（Continuous-time Linear Time-Invariant System）
系统由脉冲响应 $h(t)$ 描述。- BIBO 稳定的条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)|,dt < \infty$
- BIBO 稳定的条件：
离散时间 LTI 系统（Discrete-time LTI System）
系统由单位脉冲响应 $h[n]$ 描述。- BIBO 稳定的条件：
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |h[n]| < \infty$
- BIBO 稳定的条件：
例子
稳定系统的例子
系统：
$y(t) = 0.5x(t)$
输入有界，则输出也只是输入的缩放，因此稳定。离散 LTI 系统：
$y[n] = \frac{1}{2}y[n-1] + x[n]$
脉冲响应 $h[n] = (1/2)^n u[n]$，绝对可和，因此稳定。
不稳定系统的例子
系统：
$y(t) = e^t x(t)$
即使 $x(t)$ 有界，$e^t$ 随时间增长到无穷大，输出变得无界，因此不稳定。离散 LTI 系统：
$y[n] = 2y[n-1] + x[n]$
脉冲响应 $h[n] = 2^n u[n]$，不绝对可和，因此不稳定。
直观理解
- 稳定系统：不会“爆炸”，输入如果有限，输出一定有限。
- 不稳定系统：可能“失控”，即使输入有限，输出也可能无限大。
- 现实中的物理系统大多数情况下需要保持稳定，否则会无法使用（比如通信系统、控制系统）。
1.9.5 时不变性
时不变系统（Time-Invariant System）
如果系统的性质不会随时间改变，即输入信号延迟（或提前）一段时间，输出也相应延迟（或提前）相同的时间，而系统本身的响应形式不发生变化，这样的系统称为时不变系统。- 数学表达式：
对任意输入 $x(t)$，系统输出为 $y(t) = T[x(t)]$。
如果对延迟后的输入 $x(t-t_0)$，输出是
$y(t-t_0) = T[x(t-t_0)]$
则该系统为时不变系统。
- 数学表达式：
时变系统（Time-Variant System）
如果系统的性质随时间改变，即使输入延迟，输出不只是简单延迟，而是发生变化，这样的系统是时变系统。
要判断一个系统是否时不变，一般步骤是：
先对输入 $x(t)$ 作用系统，得到输出 $y(t)$；
再将输入延迟 $t_0$，得到 $x(t-t_0)$，通过系统得到新的输出；
最后比较新的输出是否等于原输出的延迟版 $y(t-t_0)$。
- 如果完全相等 → 系统时不变；
- 如果不相等 → 系统时变。
例子
时不变系统的例子
缩放系统：
$y(t) = 2x(t)$
输入延迟 $t_0$ 后输出就是 $2x(t-t_0)$，和原输出延迟一致，因此是时不变系统。延迟系统：
$y(t) = x(t-3)$
如果输入延迟 $t_0$，输出会是 $x((t-t_0)-3) = y(t-t_0)$，因此是时不变系统。
时变系统的例子
乘以时间的系统：
$y(t) = t \cdot x(t)$- 原输出延迟：$y(t-t_0) = (t-t_0)x(t-t_0)$
- 延迟输入后输出：$T[x(t-t_0)] = t \cdot x(t-t_0)$
两者不同，因此是时变系统。
指数加权系统：
$y(t) = e^t x(t)$
系统显式依赖于时间 $t$，所以是时变系统。
直观理解
- 时不变系统：系统的“规则”固定不变，永远一致。例如电阻、电容这种基本元件组成的 LTI 系统。
- 时变系统：系统的“规则”随时间变化，像“环境改变了”一样。例如某些随时间老化的材料系统、时间相关的滤波器。
时不变系统判断依据
- 1️⃣$t$只在$x$的括号里
- 2️⃣$t$只能是$t$,不能是$2t$, $2t$, $t^2$等其他函数
1.9.6 线性（Linearity）
线性系统（Linear System）
如果一个系统满足 叠加原理（Principle of Superposition），即同时满足 可加性（Additivity） 和 齐次性（Homogeneity，也叫比例性/Scaling），那么该系统称为线性系统。
设系统算子为 $T[\cdot]$，输入信号为 $x_1(t), x_2(t)$，对应输出为 $y_1(t), y_2(t)$。
可加性（Additivity）
$T[x_1(t) + x_2(t)] = T[x_1(t)] + T[x_2(t)]$齐次性 / 比例性（Homogeneity / Scaling）
对任意常数 $a$，有：
$T[a \cdot x_1(t)] = a \cdot T[x_1(t)]$叠加原理（Superposition Principle）
对任意常数 $a, b$，有：
$T[a \cdot x_1(t) + b \cdot x_2(t)] = a \cdot T[x_1(t)] + b \cdot T[x_2(t)]$
如果系统满足上述条件，就是线性系统，否则就是非线性系统（Nonlinear System）。
例子
线性系统的例子
缩放系统：
$y(t) = 3x(t)$
明显满足叠加与比例性，因此是线性系统。积分系统：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau$
积分算子是线性的，因此系统是线性的。微分系统：
$y(t) = \frac{d}{dt}x(t)$
微分运算也是线性的。
非线性系统的例子
平方系统：
$y(t) = [x(t)]^2$
不满足叠加性：
$(x_1 + x_2)^2 \neq x_1^2 + x_2^2$
因此是非线性系统。取绝对值系统：
$y(t) = |x(t)|$
不满足比例性（例如 $x(t)=1$，$a=-1$，则 $|-1 \cdot 1| \neq -1 \cdot |1|$）。
直观理解
- 线性系统：输入和输出的关系是“规则的”“可预测的”，不会引入新的频率成分。
- 非线性系统：输入和输出的关系复杂，会产生失真、谐波或混叠。现实中许多系统都是非线性的，但线性模型常用于近似分析。
线性系统判断依据
- 1️⃣每一项都有$X$
- 2️⃣每一项的$X$都是1次
1.10 能量和功率
在信号与系统中，信号可以分为 能量信号 (Energy Signal) 和 功率信号 (Power Signal) 。
这两类信号的划分，依赖于信号的 能量 和 平均功率 的定义。
连续时间信号，设信号为 $x(t)$。
(1) 能量 (Energy)
连续时间信号的能量定义为：
$$
E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 , dt
$$
- 如果 $0 < E < \infty$，那么 $x(t)$ 称为 能量信号。
- 例如：有限时间存在的脉冲、有限能量的衰减信号。
(2) 平均功率 (Average Power)
连续时间信号的平均功率定义为：
$$
P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 , dt
$$
- 如果 $0 < P < \infty$ 且能量 $E = \infty$，那么 $x(t)$ 称为 功率信号。
- 例如：周期信号（正弦波、方波等）都是功率信号。
离散时间信号
设信号为 $x[n]$。
(1) 能量 (Energy)
离散时间信号的能量定义为：
$$
E = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2
$$
- 如果 $0 < E < \infty$，那么 $x[n]$ 称为 能量信号。
- 例如：有限长序列，或者随时间衰减的序列。
(2) 平均功率 (Average Power)
离散时间信号的平均功率定义为：
$$
P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2
$$
- 如果 $0 < P < \infty$ 且能量 $E = \infty$，那么 $x[n]$ 称为 功率信号。
- 例如：周期序列（$x[n] = \cos(\omega_0 n)$）。
信号分类总结
- 能量信号：能量有限，功率为零
- 功率信号：能量无限，功率有限
- 既不是能量信号也不是功率信号：比如指数发散的信号，既没有有限能量，也没有有限功率
例子
连续时间指数衰减信号 $x(t) = e^{-at}u(t), a>0$
$$
E = \int_0^{\infty} e^{-2at} dt = \frac{1}{2a}, \quad P=0
$$→ 能量信号。
正弦信号 $x(t) = \cos(\omega_0 t)$
$$
E = \infty, \quad P = \frac{1}{2}
$$→ 功率信号。
有限长离散序列 $x[n] = (1/2)^n u[n]$
$$
E = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = \frac{1}{1 - (1/4)} = \frac{4}{3}, \quad P = 0
$$→ 能量信号。
离散正弦序列 $x[n] = \cos(\omega_0 n)$
$$
E = \infty, \quad P = \frac{1}{2}
$$→ 功率信号。
1.11 系统的级联与并联
在复杂信号系统中，一个系统往往可以分解为多个子系统的组合。常见的组合方式有两种：
级联 (Cascade)：
信号先经过一个系统，再进入下一个系统处理，依次传递。
👉 类似于“流水线处理”。并联 (Parallel)：
输入信号同时进入多个子系统，每个子系统独立处理后，将输出相加，得到总输出。
👉 类似于“多通道合并”。
(1) 级联系统
设两个系统分别是 $T_1$ 和 $T_2$：
- 输入 $x(t)$ 先进入 $T_1$，输出 $y_1(t)$；
- 再将 $y_1(t)$ 输入到 $T_2$，输出 $y(t)$。
数学关系：
$$
y(t) = T_2[T_1[x(t)]]
$$
如果系统是 线性时不变系统 (LTI system) ，它们的系统函数分别为 $H_1(s)$ 和 $H_2(s)$，则级联后的系统函数：
$$
H(s) = H_1(s) \cdot H_2(s)
$$
在离散域：
$$
H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z)
$$
(2) 并联系统
输入 $x(t)$ 同时进入两个系统 $T_1$ 和 $T_2$：
- $y_1(t) = T_1[x(t)]$
- $y_2(t) = T_2[x(t)]$
总输出：
$$
y(t) = y_1(t) + y_2(t)
$$
系统函数：
$$
H(s) = H_1(s) + H_2(s)
$$
在离散域：
$$
H(z) = H_1(z) + H_2(z)
$$
图示理解
(1) 级联系统
x(t) ──► [ T1 ] ──► [ T2 ] ──► y(t)(2) 并联系统
┌──► [ T1 ] ──► y1(t) ─┐
x(t) ──►───┤ ├──► y(t)
└──► [ T2 ] ──► y2(t) ─┘性质
交换律 (Commutativity)
对于 LTI 系统：
级联运算满足交换律：$$
H_1(s) \cdot H_2(s) = H_2(s) \cdot H_1(s)
$$并联运算显然也满足交换律：
$$
H_1(s) + H_2(s) = H_2(s) + H_1(s)
$$
结合律 (Associativity)
级联：
$$
(H_1 \cdot H_2) \cdot H_3 = H_1 \cdot (H_2 \cdot H_3)
$$并联：
$$
(H_1 + H_2) + H_3 = H_1 + (H_2 + H_3)
$$
👉 因此，在 LTI 系统分析中，级联和并联组合可以灵活重排。
例 1：级联系统
已知两个离散系统的系统函数：
$$
H_1(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}, \quad H_2(z) = 1 - z^{-1}
$$
求级联后的系统函数。
解：
$$
H(z) = H_1(z) \cdot H_2(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}} \cdot (1 - z^{-1})
$$
例 2：并联系统
已知两个连续系统的系统函数：
$$
H_1(s) = \frac{1}{s+1}, \quad H_2(s) = \frac{1}{s+2}
$$
求并联后的系统函数。
解：
$$
H(s) = H_1(s) + H_2(s) = \frac{1}{s+1} + \frac{1}{s+2}
$$
✅ 小结：
- 级联 → 系统函数相乘
- 并联 → 系统函数相加
- LTI 系统下，级联和并联都满足交换律与结合律。
1.12 图像题口诀
1️⃣化成标准形式：例如$X(3t+6) = X(3(t+2))$
2️⃣前有负号翻转
3️⃣系数>1压缩，系数<1拉伸
4️⃣+左移，-右移
2. Linear Time-Invariant System
2.1 离散时间卷积和 (Discrete-Time Convolution Sum)
在离散时间系统中，输入信号 $x[n]$ (input signal) 经过 系统 $h[n]$ (system / impulse response) 后，得到 输出信号 $y[n]$ (output signal)。对于线性时不变系统 (Linear Time-Invariant system, LTI system)，输出可以通过 卷积和 (convolution sum) 表示：
$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \cdot h[n-k]
$$
这就是 离散时间卷积和 (Discrete-Time Convolution Sum) 的基本公式。
卷积的物理意义 (Physical Meaning)
分解输入 (Decomposition of Input)
把输入信号 $x[n]$ 看作若干个加权的冲激函数 $\delta[n]$ 的叠加。$$
x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \cdot \delta[n-k]
$$系统的线性响应 (Linear Response of System)
由于系统的线性特性，每个冲激 $\delta[n-k]$ 会产生一个 缩放平移后的冲激响应 $h[n-k]$。系统的时不变性 (Time-Invariance of System)
使得不同的冲激响应可以直接平移叠加。
最终，所有加权的冲激响应叠加，就得到了 卷积和公式。
小例子 (Example)
设：
- 输入信号 $x[n] = {1, 2}$ （即 $x[0]=1, x[1]=2$）
- 系统冲激响应 $h[n] = {1, 1}$ （即 $h[0]=1, h[1]=1$）
计算输出 $y[n]$：
$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k] \cdot h[n-k]
$$
逐点计算：
- $y[0] = x[0]h[0] = 1\cdot 1 = 1$
- $y[1] = x[0]h[1] + x[1]h[0] = 1\cdot 1 + 2\cdot 1 = 3$
- $y[2] = x[1]h[1] = 2\cdot 1 = 2$
所以：
$$
y[n] = {1, 3, 2}
$$
2.2 连续时间卷积和 (Continuous-Time Convolution Integral)
在连续时间系统中，输入信号 $x(t)$ (input signal) 经过 系统 $h(t)$ (system / impulse response) 后，得到 输出信号 $y(t)$ (output signal)。
对于 线性时不变系统 (Linear Time-Invariant system, LTI system)，输出可以通过 卷积积分 (convolution integral) 表示：
$$
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \cdot h(t-\tau) ,d\tau
$$
这就是 连续时间卷积积分 (Continuous-Time Convolution Integral) 的基本公式。它通常被简写为 $y(t) = x(t) * h(t)$。
卷积的物理意义 (Physical Meaning)
与离散时间类似，连续时间卷积代表了系统对输入信号的响应，其物理意义可以被看作是连续的叠加过程。
分解输入 (Decomposition of Input)
把输入信号 $x(t)$ 看作是 无数个 加权的、平移的冲激函数 $\delta(t)$ (Dirac delta function) 的叠加（即积分）。$$
x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \cdot \delta(t-\tau) ,d\tau
$$
（这利用了 $\delta$ 函数的筛选特性）系统的线性响应 (Linear Response of System)
由于系统的线性特性，每一个位于 $\tau$ 时刻、权值为 $x(\tau)$ 的冲激输入 $x(\tau)\delta(t-\tau)$，会产生一个 缩放平移后的冲激响应 $x(\tau) \cdot h(t-\tau)$。系统的时不变性 (Time-Invariance of System)
时不变性保证了系统对 $\delta(t-\tau)$ 的响应就是 $h(t-\tau)$。
最终，所有这些加权的冲激响应在时间轴上 连续地叠加（积分），就得到了 卷积积分公式。
小例子 (Example)
设：
- 输入信号 $x(t) = e^{-at}u(t)$ （$a>0$，$u(t)$ 是单位阶跃函数）
- 系统冲激响应 $h(t) = u(t)$ （这是一个理想积分器）
计算输出 $y(t)$：
$$
y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \cdot h(t-\tau) ,d\tau
$$
代入 $x(\tau)$ 和 $h(t-\tau)$：
- $x(\tau) = e^{-a\tau}u(\tau)$
- $h(t-\tau) = u(t-\tau)$
$u(\tau)$ 意味着积分下限从 $\tau=0$ 开始；$u(t-\tau)$ 意味着 $\tau \le t$。
因此，当 $t \ge 0$ 时，积分的有效范围是 $0 \le \tau \le t$。当 $t < 0$ 时，没有重叠，积分为0。
逐段计算 (Piecewise calculation)：
当 $t < 0$ 时：
$y(t) = 0$当 $t \ge 0$ 时：
$$
\begin{aligned}
y(t) &= \int_{0}^{t} e^{-a\tau} \cdot 1 ,d\tau \
&= \left[ -\frac{1}{a} e^{-a\tau} \right]_{\tau=0}^{\tau=t} \
&= -\frac{1}{a} (e^{-at} - e^{0}) \
&= \frac{1}{a} (1 - e^{-at})
\end{aligned}
$$
所以（合并 $u(t)$）：
$$
y(t) = \frac{1}{a} (1 - e^{-at}) u(t)
$$
2.3 卷积的运算规律 (Properties of Convolution)
卷积 (Convolution) 作为一种数学运算，它本身满足一系列代数规律。这些规律在分析LTI系统时提供了极大的便利，尤其是用于简化复杂的系统连接。
我们将 LTI 系统的输入记为 $x$，冲激响应记为 $h$，输出 $y = x * h$。
2.3.1. 交换律 (Commutative Property)
规律： 卷积的运算顺序可以交换。
连续时间 (Continuous-Time):
$$
y(t) = x(t) * h(t) = h(t) * x(t)
$$
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) ,d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} h(\tau)x(t-\tau) ,d\tau
$$
离散时间 (Discrete-Time):
$$
y[n] = x[n] * h[n] = h[n] * x[n]
$$
$$
\sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} h[k]x[n-k]
$$
系统意义：
输入 $x$ 通过系统 $h$ 得到的输出，与 输入 $h$ 通过系统 $x$ 得到的输出是完全相同的。虽然 $h$ 作为输入听起来很奇怪，但这在数学计算上是等价的，它允许我们选择一个更简单的积分（或求和）顺序。
2.3.2 结合律 (Associative Property)
规律： 多个卷积的顺序可以任意结合。
连续时间 (Continuous-Time):
$$
[x(t) * h_1(t)] * h_2(t) = x(t) * [h_1(t) * h_2(t)]
$$
离散时间 (Discrete-Time):
$$
[x[n] * h_1[n]] * h_2[n] = x[n] * [h_1[n] * h_2[n]]
$$
系统意义：
这是 LTI 系统串联 (Cascade) 的数学基础。
- $y(t) = [x(t) * h_1(t)] * h_2(t)$ 表示输入 $x(t)$ 先通过系统 $h_1(t)$，其输出再通过系统 $h_2(t)$。
- $y(t) = x(t) * [h_1(t) * h_2(t)]$ 表示我们可以先将 $h_1(t)$ 和 $h_2(t)$ 卷积，得到一个等效的单一系统 $h_{eq}(t) = h_1(t) * h_2(t)$，然后再让 $x(t)$ 通过这个等效系统。
- 两者结果完全相同。
2.3.3. 分配律 (Distributive Property)
规律： 卷积对加法满足分配律。
连续时间 (Continuous-Time):
$$
x(t) * [h_1(t) + h_2(t)] = [x(t) * h_1(t)] + [x(t) * h_2(t)]
$$
离散时间 (Discrete-Time):
$$
x[n] * [h_1[n] + h_2[n]] = [x[n] * h_1[n]] + [x[n] * h_2[n]]
$$
系统意义：
这是 LTI 系统并联 (Parallel) 的数学基础。
- $y(t) = x(t) * [h_1(t) + h_2(t)]$ 表示我们可以先将两个系统的冲激响应相加 $h_{eq}(t) = h_1(t) + h_2(t)$，得到一个等效的单一系统，再让 $x(t)$ 通过。
- $[x(t) * h_1(t)] + [x(t) * h_2(t)]$ 表示输入 $x(t)$ 同时进入系统 $h_1(t)$ 和 $h_2(t)$，然后我们将两个系统的输出相加得到总输出 $y(t)$。
- 两者结果完全相同。
2.3.4. 单位元特性 (Identity Element)
规律： 任何信号与 冲激函数 $\delta$ (impulse) 卷积，等于信号本身。
连续时间 (Continuous-Time):
$$
x(t) * \delta(t) = x(t)
$$
离散时间 (Discrete-Time):
$$
x[n] * \delta[n] = x[n]
$$
系统意义：
冲激响应为 $h(t) = \delta(t)$（或 $h[n] = \delta[n]$）的LTI系统是一个 “恒等系统” (Identity System)。它对输入信号不做任何改变就直接输出，就像一根完美的导线。
2.3.5. 时移特性 (Shift Property)
规律： 任何信号与 平移的 冲激函数 $\delta$ 卷积，等于信号本身的 平移。
连续时间 (Continuous-Time):
$$
x(t) * \delta(t - t_0) = x(t - t_0)
$$
离散时间 (Discrete-Time):
$$
x[n] * \delta[n - n_0] = x[n - n_0]
$$
系统意义：
冲激响应为 $h(t) = \delta(t - t_0)$ 的LTI系统是一个 “理想延时系统” (Ideal Delay System)。它唯一的
作用就是把输入信号在时间上延迟 $t_0$（或 $n_0$）个单位。
2.4 LTI 系统
LTI 系统是“信号与系统”课程的绝对核心。
LTI 系统 (LTI System) 的全称是 **线性时不变系统 (Linear Time-Invariant System)**。它是一种理想化的数学模型，用于描述那些同时满足以下两种特性的系统：
- 线性 (Linearity)
- 时不变 (Time-Invariance)
之所以 LTI 系统如此重要，是因为它们在数学上极其易于分析。现实世界中大量的物理系统（如 RLC 电路、弹簧-阻尼系统、许多滤波器）在特定条件下都可以被高度近似为 LTI 系统。
1️⃣”L” = 线性 (Linearity)
一个系统是线性 (Linear) 的，意味着它必须满足**叠加原理 (Superposition Principle)**。叠加原理可以分解为两个子特性：
a. 可加性 (Additivity)
- 含义：输入的和 等于 输出的和。
- 举例：
- 如果输入 $x_1(t)$ 产生输出 $y_1(t)$
- 且输入 $x_2(t)$ 产生输出 $y_2(t)$
- 那么输入 $x_1(t) + x_2(t)$ 必须产生输出 $y_1(t) + y_2(t)$。
- 通俗理解：你和朋友同时对一个麦克风（系统）说话（输入1+输入2），录音机录下的声音（总输出），应该等于你单独说话的录音（输出1）和朋友单独说话的录音（输出2）在后期混合后的结果。
b. 齐次性 (Homogeneity / Scaling)
- 含义：输入放大 $a$ 倍，输出也必须放大 $a$ 倍。
- 举例：
- 如果输入 $x(t)$ 产生输出 $y(t)$
- 那么输入 $a \cdot x(t)$ 必须产生输出 $a \cdot y(t)$ （$a$ 是任意常数）。
- 通俗理解：你把吉他音箱（系统）的音量旋钮调大一倍（输入 $a=2$），你听到的声音响度（输出）也应该精确地大一倍。如果声音失真了（比如响度只大了1.8倍或变得刺耳），那它就不是严格线性的。
为什么“线性”重要？
它允许我们将一个复杂的输入信号分解 (decompose) 成许多简单信号（如冲激、正弦波）的叠加。我们只需要知道系统对这些简单信号的响应，就可以通过叠加它们来得到对复杂信号的总响应。
2️⃣”TI” = 时不变 (Time-Invariance)
一个系统是时不变 (Time-Invariant) 的，意味着系统的“规则”或“特性”不随时间而改变。
- 含义：输入信号在时间上平移 $t_0$，输出信号也必须以完全相同的形状平移 $t_0$。
- 数学表示：
- 如果输入 $x(t)$ 产生输出 $y(t)$
- 那么输入 $x(t - t_0)$ 必须产生输出 $y(t - t_0)$。
- 通俗理解：
- 你今天用一个 RLC 电路（系统）测试一个方波（输入），得到一个充放电曲线（输出）。
- 你下周再来，用完全相同的电路做完全相同的实验，你得到的充放电曲线必须和上周的一模一样（只是发生的时间晚了一周）。
- 反例：一个时变 (Time-Varying) 系统，比如一个正在燃烧的火箭。它的质量 $m(t)$ 随时间 $t$ 而减小。你现在推它一把（输入 $F$），它产生加速度 $a_1$。10分钟后，它的质量变轻了（系统特性改变），你再用同样的力 $F$ 推它，它会产生一个不同的加速度 $a_2$。这个系统就是时变的。
LTI 系统为何如此特别？
当一个系统同时满足“线性”和“时不变”时，奇迹发生了：
LTI 系统被其“指纹”——冲激响应——完全定义。
冲激响应 (Impulse Response)
- 我们定义一个最简单的输入信号，称为**单位冲激 (Unit Impulse)**，记为 $\delta(t)$（它是一个在 $t=0$ 时刻发生的、面积为1的无限窄脉冲）。
- 我们将 $\delta(t)$ 输入到一个 LTI 系统中，系统所产生的输出，我们称之为该系统的**冲激响应 (Impulse Response)**，记为 $h(t)$。
- $h(t)$ 就是这个LTI系统独一无二的“指纹”或“DNA”。它包含了关于这个系统的全部信息。
LTI 与 卷积 (Convolution)
我们是如何利用这个 $h(t)$ 的呢？这就回到了您之前的问题。
第一步（分解输入）：利用冲激函数的特性，任何输入信号 $x(t)$ 都可以被“分解”为无数个平移和缩放的冲激的叠加（积分）：
$$x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) ,d\tau$$
第二步（利用 LTI 特性）：我们将 $x(t)$ 输入系统，求输出 $y(t)$：
$$y(t) = \text{System}[x(t)] = \text{System}\left[ \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \delta(t-\tau) ,d\tau \right]$$
因为系统是线性 (Linear) 的，我们可以把 $\text{System}[\cdot]$ 算子和积分 $\int$ 交换，并提出 $x(\tau)$：
$$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) \cdot \text{System}[\delta(t-\tau)] ,d\tau$$
因为系统是时不变 (Time-Invariant) 的，系统对 $\delta(t-\tau)$（平移的冲激）的响应，就是 $h(t-\tau)$（平移的冲激响应）：
$$\text{System}[\delta(t-\tau)] = h(t-\tau)$$
第三步（得到卷积）：将 $h(t-\tau)$ 代回上式：
$$y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau) h(t-\tau) ,d\tau$$
这个公式，就是卷积 (Convolution) $x(t) * h(t)$ 的定义！
总结
- LTI 系统是同时满足线性 (Linearity) 和时不变 (Time-Invariance) 的系统。
- 线性（叠加原理）允许我们将信号分解和叠加。
- 时不变性保证了系统的行为是可预测和一致的。
- 这两个特性共同导致了一个强大的结论：LTI 系统的输出 $y(t)$，等于其输入 $x(t)$ 与其冲激响应 (Impulse Response) $h(t)$ 的**卷积 (Convolution)**。
$$
y(t) = x(t) * h(t)
$$ - 因此，$h(t)$（冲激响应）是 LTI 系统的唯一“指纹”，而卷积是计算其响应的通用“钥匙”。
2.5 卷积与LTI系统
卷积 (Convolution) 是 LTI 系统（线性时不变系统）的“通用语言”。
具体来说，它们的关系是：
一个 LTI 系统的输出 $y(t)$，完全等于 它的输入 $x(t)$ 与 它的冲激响应 $h(t)$ 之间的卷积。
核心关系：$y(t) = x(t) * h(t)$
这个公式就是LTI系统与卷积关系的数学体现。
$$
\begin{align}
\text{连续时间系统: } & \quad y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} x(\tau)h(t-\tau) ,d\tau \
\text{离散时间系统: } & \quad y[n] = x[n] * h[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x[k]h[n-k]
\end{align}
$$
为什么是这个关系？（推导回顾）
正如我们之前详细推导的，这个关系之所以成立，完全是因为系统同时满足“线性”和“时不变”两个条件：
“线性” (Linearity)：
- 它允许我们使用叠加原理。
- 我们可以将输入 $x(t)$ “分解”成无数个 $x(\tau)\delta(t-\tau)$ 的线性叠加（积分）。
- 因此，总输出 $y(t)$ 也必须是系统对这些“分解”信号的响应的线性叠加。
“时不变” (Time-Invariance)：
- 它保证了系统对“平移”的输入（$\delta(t-\tau)$）的响应，也是“平移”的输出（$h(t-\tau)$）。
两者结合：将这两条特性结合起来，就完美地推导出了卷积积分公式。
这种关系意味着什么？
1.$h(t)$ 是 LTI 系统的唯一“指纹”
- LTI 系统 $\iff$ 冲激响应 $h(t)$
- LTI 系统和它的冲激响应 $h(t)$ 是一一对应的。**$h(t)$ 唯一且完整地定义了 LTI 系统的一切特性。**
- 我们不再需要关心系统内部是RCL电路、还是声学混响模型，只要我们通过实验（比如“猛敲一下”）测量出了它的 $h(t)$，我们就掌握了这个系统的全部信息。
2.卷积是 LTI 系统的“行为”模型
- 卷积运算 ($*$)，这个看起来复杂的“反转-平移-乘积-积分”的数学过程，就是 LTI 系统“处理”信号的物理行为的数学模型。
- 它完美地描述了系统是如何将输入 $x(t)$ 的“历史”信息，按照自身的“个性” $h(t)$，加权叠加成“现在”的输出 $y(t)$ 的。
3.强大的预测和分析能力
掌握了这个关系，我们就有了“万能钥匙”：
- 预测：一旦你知道了系统的 $h(t)$（指纹），你就可以通过卷积，预测出这个系统对任何新输入 $x(t)$ 的响应 $y(t)$。
- 分析：我们不需要分析系统本身，只需要分析它的 $h(t)$ 就可以。例如：
- 如果 $h(t)$ 在 $t<0$ 时 $h(t)=0$，那么这个系统是因果的。
- 如果 $\int |h(t)| dt < \infty$，那么这个系统是稳定的。
- 简化：复杂的系统连接（串联/并联）可以被简化。
- 两个系统串联：$h_{eq}(t) = h_1(t) * h_2(t)$ （冲激响应做卷积）
- 两个系统并联：$h_{eq}(t) = h_1(t) + h_2(t)$ （冲激响应做加法）
总结：
LTI 系统是“舞台”，$h(t)$ 是这个舞台的“布景和规则”（指纹），$x(t)$ 是“演员”（输入），而卷积则是“剧本”（物理规律），它规定了演员在这个舞台上必须如何表演，最终呈现出 $y(t)$ 这场“演出”（输出）。
“完全重叠”时的计算捷径当两个信号都是幅值恒定的矩形脉冲时，计算“完全重叠”区的卷积值有一个非常简单的捷径：
$$
y[n] = (\text{较短信号的长度}) \times (\text{信号 1 的幅值}) \times (\text{信号 2 的幅值})
$$
3. 傅立叶变换
3.1 傅立叶级数（Fourier Series）
简单来说，傅立叶级数的核心思想是：任何周期性的复杂函数，都可以看作是许多简单的正弦波（Sine）和余弦波（Cosine）叠加而成的。
我们可以把它想象成数学界的“三棱镜”：三棱镜把白光分解成七色光谱，而傅立叶级数把一个复杂的信号分解成不同频率的简单波形。
以下我将从直观理解、数学表达、以及它的意义三个方面为你讲解。
为了理解傅立叶级数，我们可以用两个类比：
- 音乐和弦： 当你在钢琴上同时按下一个和弦（比如 C 和弦），你听到的声音是一个复杂的波形。但是，这个复杂的波形其实是由三个简单的单音（根音、三度音、五度音）叠加在一起形成的。傅立叶级数就是那个能把这个和弦“听”回去，告诉你它是由哪几个单音组成的工具。
- 乐高积木： 正弦波和余弦波就像是最基础的积木块。无论你想搭一个多么奇怪形状的周期性城堡（比如方波、三角波、锯齿波），只要你用的积木块（正弦波）足够多，并且调整它们的大小（振幅）和位置（相位），你就能无限逼近那个形状。
假设我们有一个周期为 $T$ 的函数 $f(t)$，我们想把它拆解。傅立叶告诉我们，它可以写成这样的形式：
$$f(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(n\omega_0 t) + b_n \sin(n\omega_0 t) \right)$$
这里的每一项都有具体的物理意义：
$a_0$ (直流分量/平均值)：
这是波形的“基准线”或平均高度。比如一个电压信号是在 0V 上下波动，还是在 5V 上下波动。$\omega_0$ (基波频率)：
这是信号最基本的节奏，由周期决定 ($\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$)。$n\omega_0$ (谐波频率)：
求和符号 $\sum$ 里的 $n=1, 2, 3…$ 代表频率的倍数。- $n=1$ 是基波（一次谐波）。
- $n=2$ 是二次谐波（频率是基波的2倍，听起来高八度）。
- $n$ 越大，波动的频率越快，用来修饰波形的细节和棱角。
$a_n$ 和 $b_n$ (傅立叶系数)：
这就像是“配方表”。它们告诉我们在某个频率 $n\omega_0$ 上，应该放入多少“分量”的余弦波或正弦波。- 计算这些系数需要用到积分（利用三角函数的正交性）。
想象一个方波（像开关一样，只有高电平和低电平）。它看起来完全不像圆滑的正弦波，对吧？
但如果我们用傅立叶级数去合成它：
- 先拿一个和它频率一样的正弦波（基波），大概有了个形状，但是那是圆的。
- 加入一个 3 倍频率的正弦波（幅度小一点），波峰变平了一点。
- 加入一个 5 倍频率的正弦波…
- 加入一个 7 倍频率的正弦波…
结果： 随着叠加的高频分量越来越多，波形的边缘会越来越陡峭，顶部越来越平，最终变成了一个完美的方波。
这就是傅立叶级数的魔力：用圆滑的波，造出有棱角的波。
复指数形式（工程界的通用语）
在信号与系统、电路分析中，我们更喜欢用欧拉公式 $e^{jx} = \cos x + j\sin x$ 将上述公式简化。这被称为复指数形式的傅立叶级数：
$$f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} C_n e^{j n \omega_0 t}$$
- 这种形式把正弦和余弦统一成了指数函数。
- 它引入了“负频率”的概念（数学上的构造，为了计算方便）。
- 系数 $C_n$ 包含了振幅和相位的信息（通常是复数）。
- 这是通向“傅立叶变换”的关键桥梁。
傅立叶级数不仅是数学游戏，它是现代文明的基石之一：
- 信号处理（去噪）： 比如录音里有高频噪音。我们把声音做傅立叶展开，找到高频对应的系数，把它们人为地设为 0（滤除），再还原回去，声音就干净了。
- 数据压缩（JPEG/MP3）： 图片或音乐包含大量数据。但通过傅立叶分析，我们发现很多人眼/人耳听不到的细节（高频分量）对应的系数很小。我们可以直接丢弃这些数据，从而极大地减小文件体积，这就是 MP3 和 JPEG 的原理（基于类似的思想）。
- 解微分方程（热传导）： 它可以把复杂的微积分问题，转换成简单的代数问题来求解。
离散傅立叶级数（Discrete-Time Fourier Series，简称 DTFS）是信号处理中非常核心的概念，特别是对于现代数字信号处理（DSP）而言，它是理解 FFT（快速傅立叶变换）的基础。
在连续时间（CTFS）中，我们把一个周期波形分解成无数个正弦波。
但在离散时间（即数字信号）中，有两个关键限制：
- 时间是离散的：$n$ 只能取整数（0, 1, 2…）。
- 信号是周期的：我们需要信号每隔 $N$ 个点重复一次，即 $x[n] = x[n+N]$。
DTFS 的本质：
它告诉我们，任何一个周期为 $N$ 的离散序列，都可以由 $N$ 个特定的复指数信号（也就是正弦/余弦波）加权合成。
注意：这里不再是无穷多个波，而是只有 $N$ 个波就能完美复刻原信号。
DTFS 由两个互逆的公式组成，这和我们在做题时用到的逻辑是一样的。
(1) 综合公式 (Synthesis Equation) - “还原”
怎么把一堆频率分量拼回成原来的波形？
$$x[n]=\sum_{k=\langle N \rangle}a_ke^{jk(\frac{2\pi}{N})n}$$
- 含义：把不同频率 $k$ 的波叠加起来。
- 求和范围：$\sum_{k=\langle N \rangle}$ 表示只需要加任意 连续的 $N$ 个 $k$ 值（通常取 $k=0$ 到 $N-1$）。
(2) 分析公式 (Analysis Equation) - “拆解”
怎么求出每个频率分量的权重（系数 $a_k$）？
$$a_k =\frac{1}{N}\sum_{n=\langle N \rangle}x[n]e^{-jk(\frac{2\pi}{N})n}$$
- 含义：这是在计算原信号 $x[n]$ 和第 $k$ 个频率的基波之间的相关性（内积）。
- 系数 $1/N$ ：这是一个归一化因子（平均作用）。
最关键的性质：频谱的“周期性”
这是离散傅立叶级数与连续傅立叶级数最大的不同，也是最容易混淆的地方。
在连续世界里，频率 $k$ 可以无限增加，频率越高，震荡越快。
但在离散世界里，频率是会“轮回”的。
数学推导：
$$e^{j(k+N)\frac{2\pi}{N}n} = e^{jk\frac{2\pi}{N}n} \cdot \underbrace{e^{jN\frac{2\pi}{N}n}}_{e^{j2\pi n} = 1} = e^{jk\frac{2\pi}{N}n}$$
物理意义：
- 第 $k$ 次谐波 和 第 $k+N$ 次谐波，在离散采样点上看起来是一模一样的。
- 这导致了 系数 $a_k$ 也是周期的，即 $a_k = a_{k+N}$。
- 直观比喻：想象一个时钟。13 点和 1 点，指针指向的位置是一样的。离散频率就像时钟，转一圈（$N$）后又回到了原点。
因此，我们只需要计算 $N$ 个系数（例如 $a_0, a_1, …, a_{N-1}$）就足够描述整个信号了。
总结
- 离散性：处理的是序列 $x[n]$。
- 有限性：只需要 $N$ 个复指数波就能合成信号。
- 周期性：频域系数 $a_k$ 也是周期的，即 $a_k = a_{k+N}$（这是做题时经常用到的隐藏条件）。
离散傅里叶级数（DTFS）中有个非常重要的相乘性质（Multiplication Property）。
简单来说：时域上的相乘，对应频域上的周期卷积。
根据离散傅里叶级数的性质，如果时域信号是 $g[n] = x_1[n]x_2[n]$，那么其频域系数 $c_k$ 是 $a_k$ 和 $b_k$ 的周期卷积：
$$c_k = \sum_{l=0}^{N-1} a_l b_{k-l}$$
(注：这里的下标 $k-l$ 是模 $N$ 运算，即如果 $k-l$ 是负数，要加上 $N$ 找对应的值)
3.2 常用计算公式总结
以下是定义在周期 $T_0$（或 $[-\frac{T_0}{2}, \frac{T_0}{2}]$）上的常用积分总结。
这里假设 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$，且 $m, n$ 均为非负整数。
- 最基础的“归零”积分 (Basic Zero Integrals)
原理： 一个完整的正弦或余弦波，在一个周期内，正半周和负半周的面积正好抵消。
$$\int_{0}^{T_0} \cos(n\omega_0 t) , dt = 0 \quad (n \neq 0)$$
$$\int_{0}^{T_0} \sin(n\omega_0 t) , dt = 0$$
- 注意： 积分区间只要长度是 $T_0$ 即可，比如 $[-\frac{T_0}{2}, \frac{T_0}{2}]$ 结果也一样。
- 正交性积分 (Orthogonality) —— 重中之重
这是计算傅立叶系数 $a_n, b_n$ 的核心依据。利用积化和差原理，当频率不同时，两个三角函数相乘的积分为 0。
(1) 不同频率相乘 ($m \neq n$)
$$\int_{0}^{T_0} \cos(n\omega_0 t) \cdot \cos(m\omega_0 t) , dt = 0$$
$$\int_{0}^{T_0} \sin(n\omega_0 t) \cdot \sin(m\omega_0 t) , dt = 0$$
$$\int_{0}^{T_0} \sin(n\omega_0 t) \cdot \cos(m\omega_0 t) , dt = 0$$
(2) 同频率相乘 ($m = n \neq 0$) —— 这是唯一算出非零值的地方
当 $m=n$ 时，变成平方项。利用 $\cos^2 x = \frac{1+\cos 2x}{2}$ 和 $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$，常数项积出来是 $T_0/2$。
$$\int_{0}^{T_0} \cos^2(n\omega_0 t) , dt = \frac{T_0}{2}$$
$$\int_{0}^{T_0} \sin^2(n\omega_0 t) , dt = \frac{T_0}{2}$$
- 特例注意： $\int_{0}^{T_0} \sin(n\omega_0 t) \cos(n\omega_0 t) , dt = 0$ （因为这等于 $\frac{1}{2}\sin(2n\omega_0 t)$，还是积分为0）。
- 奇偶性秒杀技巧 (Symmetry Shortcuts)
在做题时，第一步永远是看对称性。如果积分区间是对称的（如 $[-\pi, \pi]$ 或 $[-\frac{T_0}{2}, \frac{T_0}{2}]$），利用奇偶性可以直接划掉一半的计算量。
设积分区间为 $[-L, L]$：
- 奇函数 $\times$ 偶函数 = 奇函数 $\rightarrow$ 积分为 0
- 例如：$t \cdot \cos(nt)$，$\sin(t) \cdot \cos(t)$
- 奇函数 $\times$ 奇函数 = 偶函数 $\rightarrow$ 积分为 2倍的半边积分
- 例如：$t \cdot \sin(nt)$
- 偶函数 $\times$ 偶函数 = 偶函数 $\rightarrow$ 积分为 2倍的半边积分
- 例如：$t^2 \cdot \cos(nt)$
实战结论：
- 若 $f(t)$ 是偶函数（如方波关于y轴对称）：$b_n = 0$，只算 $a_0, a_n$。
- 若 $f(t)$ 是奇函数（如锯齿波关于原点对称）：$a_n = 0$，只算 $b_n$。
- 经常遇到的分部积分 (Integration by Parts)
在计算三角波、锯齿波的傅立叶系数时，经常遇到 $t$ 乘以三角函数的情况。与其每次都推导 $udv$，不如记住这两个不定积分形式：
$$\int t \cos(at) , dt = \frac{\cos(at)}{a^2} + \frac{t \sin(at)}{a}$$
$$\int t \sin(at) , dt = \frac{\sin(at)}{a^2} - \frac{t \cos(at)}{a}$$
助记口诀：
- 积分 $\cos$ 变 $\sin$，再积变 $-\cos$。
- $t$ 随着积分在求导中消失。
- 注意分母 $a$ 的次数增加。
- 常见特殊值的化简 (Simplify the Result)
算出系数后，通常带有 $\cos(n\pi)$ 或 $\sin(n\pi)$，一定要化简成 $(-1)^n$ 的形式，这是标准答案的要求。
- $\sin(n\pi) = 0$
- $\cos(n\pi) = (-1)^n$
- $\cos(2n\pi) = 1$
- $\sin(n\pi/2) = \begin{cases} 0 & n \text{ 为偶数} \ (-1)^{\frac{n-1}{2}} & n \text{ 为奇数} \end{cases}$
- $\cos(n\pi) - 1 = (-1)^n - 1 = \begin{cases} -2 & n \text{ 为奇数} \ 0 & n \text{ 为偶数} \end{cases}$
总结一张表 (Cheatsheet)
| 积分式 (积分区间 $T_0$) | 结果 ($n \neq m$) | 结果 ($n = m \neq 0$) | 备注 |
|---|---|---|---|
| $\int \sin(n\omega t)$ | $0$ | $0$ | 面积抵消 |
| $\int \cos(n\omega t)$ | $0$ | $0$ | 面积抵消 |
| $\int \sin(n\omega t)\cos(m\omega t)$ | $0$ | $0$ | 总是正交 |
| $\int \sin(n\omega t)\sin(m\omega t)$ | $0$ | $T_0/2$ | 只有这里有值 |
| $\int \cos(n\omega t)\cos(m\omega t)$ | $0$ | $T_0/2$ | 只有这里有值 |
3.3 傅立叶级数的正交性
这是一个非常核心的概念。“正交性”（Orthogonality）是傅立叶级数赖以生存的灵魂。
如果没有正交性，我们根本无法算出傅立叶系数 $a_n$ 和 $b_n$。
第一步：从向量类比（直观理解）
在三维几何（线性代数）中，我们说两个向量 $\vec{A}$ 和 $\vec{B}$ 是正交（垂直）的，如果它们的点积为 0：
$$\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$$
比如说，X轴上的单位向量 $\vec{i}$ 和 Y轴上的单位向量 $\vec{j}$ 就是正交的。
这意味着什么？意味着你在 X 轴上怎么跑，都不会改变你在 Y 轴上的坐标。这两个分量是互不干扰的。
迁移到函数：
在信号与系统中，我们将“函数”看作是“无穷维的向量”。
- 向量的点积变成函数的积分（内积）。
- 如果在周期 $T$ 内，两个函数的乘积积分为 0，我们说这两个函数正交。
$$ \int_{0}^{T} f(t) \cdot g(t) , dt = 0 \implies \text{f(t) 与 g(t) 正交}$$
第二步：三角函数系的“正交性”事实
傅立叶级数之所以成立，是因为三角函数集 ${1, \cos(\omega t), \sin(\omega t), \cos(2\omega t), \sin(2\omega t), …}$ 构成了一个正交完备集。
这里的正交性具体指我们之前总结的那个公式：
只要频率不同（或者一个是正弦一个是余弦），它们“打架”（相乘积分）的结果就是 0。
自己跟别人打（$m \neq n$）：
$$\int_0^T \cos(n\omega t) \cos(m\omega t) dt = 0$$
（不同频率的波，哪怕都是 Cosine，也是正交的）正弦跟余弦打（哪怕 $m = n$）：
$$\int_0^T \sin(n\omega t) \cos(n\omega t) dt = 0$$
（同频率的 Sine 和 Cosine 也是正交的）
只有自己跟自己打（$m=n$ 且同类型）才会有值（$T/2$）。
第三步：正交性的威力——“筛选性质”
这是你在考试中最需要理解的逻辑：为什么我们要用正交性？
假设我们有一个复杂的信号 $f(t)$，它是无数个波叠加而成的：
$$f(t) = a_0 + a_1\cos(\omega t) + a_2\cos(2\omega t) + \dots + a_k\cos(k\omega t) + \dots$$
现在，我想知道 $a_k$ 到底是多少？（也就是求第 $k$ 次谐波的系数）。
操作方法：
就像用滤网一样，我把等式两边同时乘以 $\cos(k\omega t)$，然后对一个周期积分。
$$\int_0^T f(t) \cdot \cos(k\omega t) , dt = \int_0^T \left[ \sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos(n\omega t) \right] \cdot \cos(k\omega t) , dt$$
奇迹发生了（利用正交性）：
- 等式右边有无数项相加。
- 但是，因为正交性，当 $n \neq k$ 时，$\int \cos(n\omega t)\cos(k\omega t) = 0$。
- 所有其他的项全部死掉了（变成了0）！
- 只有当 $n=k$ 的那一项活了下来。
等式变成了：
$$\int_0^T f(t) \cos(k\omega t) , dt = a_k \cdot \underbrace{\int_0^T \cos^2(k\omega t) , dt}_{T/2}$$
$$\int_0^T f(t) \cos(k\omega t) , dt = a_k \cdot \frac{T}{2}$$
于是，我们轻松解出了 $a_k$：
$$\boxed{a_k = \frac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos(k\omega t) , dt}$$
结论： 正交性就像一个精准的“探针”。想提取哪个频率的成分，就乘上那个频率的波并积分，其他的干扰项会自动归零。
数学证明（为什么是0？）
如果你在面试或笔试中需要简单证明为什么不同频率积分是 0，你需要用到积化和差公式。
证明： $\int_0^T \cos(n\omega t) \cos(m\omega t) , dt = 0$ （其中 $n \neq m$, $\omega = 2\pi/T$）
利用公式：$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
$$I = \frac{1}{2} \int_0^T \left[ \cos((n-m)\omega t) + \cos((n+m)\omega t) \right] , dt$$
因为 $n, m$ 都是整数且 $n \neq m$，所以 $(n-m)$ 和 $(n+m)$ 也是非零整数。
这意味着我们在积完整的余弦波（可能是 1 个周期，也可能是 5 个周期）。
一个完整的余弦波，正负面积刚好抵消，积分为 0。
$$I = \frac{1}{2} (0 + 0) = 0$$
- 正交性意味着：不同频率的三角函数相乘并积分，结果为 0。
- 物理意义：不同频率的能量是独立的，互不干扰。
- 工具作用：它让我们能从复杂的混合信号中，把某个具体的频率成分 $a_n$ 单独“拎”出来计算。
3.4 傅立叶系数
在不同的教材和体系中，符号的使用可能会略有不同。根据常见的信号与系统（如 Oppenheim 教材）或工程数学习惯：
- **$a_k$ 和 $b_k$**（你提到的 $B_k$）通常指三角形式傅立叶级数的系数。
- $C_k$（有时写作 $X_k$ 或 $c_n$）通常指复指数形式傅立叶级数的系数。
- 三角形式系数：$B_k$ (和 $B_0$)
假设信号 $f(t)$ 的周期为 $T$，基波角频率为 $\omega_0 = \frac{2\pi}{T}$。
三角形式展开为：
$$f(t) = a_0 + \sum_{k=1}^{\infty} [a_k \cos(k\omega_0 t) + \mathbf{B_k} \sin(k\omega_0 t)]$$
(注：有些教材用 $b_k$ 表示正弦系数，这里对应你问的 $B_k$)
(1) 如何求 $B_k$？
利用正交性，乘以 $\sin(k\omega_0 t)$ 并积分：
$$\mathbf{B_k} = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(k\omega_0 t) , dt$$
(积分区间也可以取 $[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}]$)
- $B_k$ 的物理意义：
它代表了信号中频率为 $k\omega_0$ 的正弦分量的“权重”或“强度”。- 如果 $f(t)$ 是奇函数（关于原点对称），那么只有 $B_k$ 有值，$a_k$ 全为 0。
(2) 关于 $B_0$
在标准的三角形式中，**$B_0$ 实际上是 0**。
- 原因： 把 $k=0$ 代入 $B_k \sin(k\omega_0 t)$，因为 $\sin(0) = 0$，所以这一项恒为 0。
- 常数项去哪了？ 常数项（直流分量）通常由 $a_0$ 表示：
$$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt$$
(注：如果你看到的教材里确实写了 $B_0$，请确认它是否把余弦项也合并了，或者是特殊的符号定义，但通常正弦系数的 0 次项没有意义)
- 复指数形式系数：$C_k$
这是现代信号处理最常用的形式：
$$f(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} \mathbf{C_k} e^{j k \omega_0 t}$$
(1) 如何求 $C_k$？
直接对信号乘以 $e^{-j k \omega_0 t}$（注意指数上有负号）并求平均：
$$\mathbf{C_k} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-j k \omega_0 t} , dt$$
(2) $C_k$ 的物理意义
$C_k$ 是一个复数，它同时包含了幅度和相位信息。
$$C_k = |C_k| e^{j\phi_k}$$
- $|C_k|$ (幅度谱)： 表示频率为 $k\omega_0$ 的分量的能量大小。
- $\phi_k$ (相位谱)： 表示该频率分量的相位偏移。
- $C_0$ (当 k=0)： 就是直流分量（平均值），$C_0 = a_0$。
- 它们之间有什么关系？
这是连接“传统数学”和“现代信号处理”的桥梁。利用欧拉公式 ($e^{jx} = \cos x + j\sin x$)，我们可以推导出 $C_k$ 与 $a_k, B_k$ 的关系：
$$\mathbf{C_k} = \frac{1}{2} (a_k - j B_k) \quad (\text{当 } k > 0)$$
$$\mathbf{C_{-k}} = \frac{1}{2} (a_k + j B_k) = C_k^* \quad (\text{共轭关系})$$
$$\mathbf{C_0} = a_0$$
这意味着：
如果你算出了三角系数 $a_k$ 和 $B_k$，你可以直接写出 $C_k$，不用再去积分一遍复指数！
总结对照表
| 符号 | 名称 | 计算公式 (周期 $T$) | 物理意义 | 备注 |
|---|---|---|---|---|
| $a_0$ / $C_0$ | 直流分量 | $\frac{1}{T} \int f(t) dt$ | 信号的平均高度 | 也就是 $k=0$ 时的值 |
| $B_k$ | 正弦系数 | $\frac{2}{T} \int f(t) \sin(k\omega_0 t) dt$ | 正弦波的权重 | 奇函数只含此项 |
| $C_k$ | 复傅立叶系数 | $\frac{1}{T} \int f(t) e^{-jk\omega_0 t} dt$ | 频谱（复数），含幅度和相位 | 工程最常用 |
做题小贴士：
- 如果题目给的是实偶函数，$B_k=0$，$C_k$ 是实数。
- 如果题目给的是实奇函数，$a_k=0$，$C_k$ 是纯虚数。
- 如果只要求画幅度谱，通常算 $C_k$ 更快；如果要求写出具体的 $\sin/\cos$ 表达式，算 $a_k, B_k$ 更直观。
帕塞瓦尔定理（Parseval’s Relation）在信号与系统中的核心含义就是：能量（或功率）守恒。
无论你在时域（Time Domain）看一个信号，还是在频域（Frequency Domain）看同一个信号，它的总能量（或总平均功率）是不会变的。
我们可以把这个公式拆开，从物理意义上来理解每一部分的含义：
$$\frac{1}{T} \int_{0}^{T} |x(t)|^2 dt = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2$$
等式左边：时域角度 (Time Domain)
$$P_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} |x(t)|^2 dt$$
- 物理背景：假设 $x(t)$ 是加在一个 $1\Omega$ 电阻上的电压（或电流）。
- $|x(t)|^2$：这是瞬时功率（Instantaneous Power）。
- 积分 $\int_0^T$：这是算出在一个周期内电阻产生的总热量（能量）。
- 除以 $T$：这是把总能量平摊到时间上，求出平均功率。
- 直观理解：这就像是你直接看波形的“整体强度”。不管波形长什么样（方波、三角波、正弦波），你通过积分算出了它实际做功的能力。
等式右边：频域角度 (Frequency Domain)
$$P_{avg} = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2$$
- 傅里叶级数的本质：它告诉我们，任意周期信号都是由许许多多不同频率的“纯正弦波/复指数波”叠加而成的。
- $a_k$：这是第 $k$ 次谐波的幅度（复数系数）。
- $|a_k|^2$：这是第 $k$ 次谐波分量独自贡献的功率。
- 求和 $\sum$：这是说，信号的总功率等于所有谐波分量功率的简单相加。
- 直观理解：这就像做菜。一道菜的总卡路里（时域总能量），等于它包含的面粉、糖、黄油等每一样食材的卡路里之和（频域各分量能量之和）。
为什么这个定理很牛？（应用价值）
在实际解题和工程中，帕塞瓦尔定理提供了一条捷径。
场景一：避开复杂的积分
有时候，$x(t)$ 的表达式很复杂，或者分很多段，直接算 $\int |x(t)|^2 dt$ 非常痛苦。
但如果你知道它的傅里叶系数 $a_k$ 很简单（比如只有寥寥几项非零），你只需要把这几个 $|a_k|^2$ 加起来，就能瞬间得到总功率，完全不需要做积分！
场景二：滤波器分析
如果你设计一个低通滤波器，滤掉了高频分量（即把高频的 $a_k$ 变成了 0）。
利用帕塞瓦尔定理，你可以很容易地计算出失去了多少能量，或者还剩下多少能量。只需要把被滤掉的那些 $|a_k|^2$ 减去即可。
举个简单的例子
假设信号是简单的正弦波：$x(t) = 2\cos(\omega_0 t)$。
A. 时域算功率：
正弦波的功率我们很熟悉，幅度的平方除以 2。
$$P = \frac{2^2}{2} = 2$$
B. 频域算功率（帕塞瓦尔定理）：
利用欧拉公式展开：
$$2\cos(\omega_0 t) = e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t}$$
这意味着它的傅里叶系数只有两项非零：
- $k=1$ 时，$a_1 = 1$
- $k=-1$ 时，$a_{-1} = 1$
- 其余 $a_k = 0$
利用帕塞瓦尔定理求和：
$$\sum |a_k|^2 = |a_1|^2 + |a_{-1}|^2 = 1^2 + 1^2 = 2$$
结论：A 和 B 的结果完全一致。这就是帕塞瓦尔定理的魔力！
帕塞瓦尔定理告诉我们：变换不会改变能量。 无论你用什么数学工具去描述一个信号（是描述它随时间的变化，还是描述它包含的频率成分），它蕴含的物理能量是恒定不变的。
3.5 快速计算小工具
黎曼-勒贝格引理 (Riemann-Lebesgue Lemma)：
内容： 如果 $f(x)$ 绝对可积，那么当 $n \rightarrow \infty$ 时，其傅立叶系数 $a_n, b_n$ 趋于 0。
$$\lim_{n \to \infty} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx = 0$$
- 实战意义： 这是一个验算工具。如果你算出来的傅立叶级数系数，当 $n$ 很大时没有趋近于 0（例如变成常数或无穷大），说明你一定算错了。
著名的狄利克雷积分 (Dirichlet Integral)。
首先，我们观察积分 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\omega t)}{t} , dt$。
假设 $\omega > 0$（通常情况）：
令 $x = \omega t$，则 $t = x/\omega$， $dt = dx/\omega$。
当 $t \to \infty$ 时 $x \to \infty$，当 $t \to -\infty$ 时 $x \to -\infty$。
代入积分：
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x/\omega} \cdot \frac{dx}{\omega} = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} , dx$$
因此，我们只需要证明标准形式 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} , dx = \pi$ 即可。
(注：如果 $\omega < 0$，积分限会翻转，结果为 $-\pi$。如果 $\omega=0$，结果为 0。所以通解是 $\pi \cdot \text{sgn}(\omega)$)。
方法一：利用傅立叶变换（信号与系统视角）
这是最快的方法，利用了矩形脉冲 (Rect) 和 Sinc 函数 互为傅立叶变换对的性质。
1. 定义频域函数
构造一个频域上的矩形函数（理想低通滤波器）：
$$
X(j\nu) =
\begin{cases}
1, & |\nu| < 1 \\
0, & |\nu| > 1
\end{cases}
$$
(注：这里用 $\nu$ 表示频率变量，以免和题目中的 $t, x$ 混淆)
2. 求其傅立叶逆变换 (IDFT)
根据定义，时域信号 $x(t)$ 为：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\nu) e^{j\nu t} , d\nu$$
代入 $X(j\nu)$ 的定义：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^{1} 1 \cdot e^{j\nu t} , d\nu$$
计算该定积分：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\nu t}}{jt} \right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2\pi jt} (e^{jt} - e^{-jt})$$
利用欧拉公式 $\sin(t) = \frac{e^{jt} - e^{-jt}}{2j}$，得到：
$$x(t) = \frac{1}{\pi t} \sin(t) = \frac{\sin(t)}{\pi t}$$
3. 利用变换对的数值关系
现在我们有了变换对：
$$\mathcal{F}^{-1} [ \text{Rect}(\nu) ] = \frac{\sin(t)}{\pi t}$$
关键一步： 傅立叶逆变换的定义公式在 $t=0$ 时也成立。
根据上一步算出的 $x(t)$，在 $t=0$ 时（取极限），$x(0) = \frac{1}{\pi} \cdot 1 = \frac{1}{\pi}$。
另一方面，直接用积分定义式算 $t=0$ 时的 $x(0)$：
$$x(0) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\nu) e^{j\nu \cdot 0} , d\nu = \frac{1}{2\pi} \int_{-1}^{1} 1 , d\nu = \frac{1}{2\pi} \cdot 2 = \frac{1}{\pi}$$
这一步只是验证了定义没问题。
现在，我们回顾傅立叶变换对的积分等式：
$$\frac{\sin(t)}{\pi t} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\nu) e^{j\nu t} d\nu$$
这看起来稍微绕了点，我们换个更直接的对偶性质思路：
已知：$\delta(t)$ 的傅立叶变换是 $1$。
这不是最好的路。
最简单的物理思路：
已知 $f(t) = \frac{\sin(at)}{\pi t}$ 的傅立叶变换是 $F(\omega) = \text{rect}(\omega/2a)$ (幅度为1)。
令 $a=1$，则 $f(t) = \frac{\sin(t)}{\pi t}$。
其傅立叶变换 $F(\omega)$ 在 $\omega=0$ 处的值就是 $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j0t} dt$。
即：
$$F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(t)}{\pi t} dt$$
对于 $f(t) = \frac{\sin(t)}{\pi t}$，其频谱是 $\omega \in [-1, 1]$ 范围内的矩形，高度为 $1$。
所以 $F(0) = 1$。
$$1 = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(t)}{\pi t} dt \implies \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(t)}{t} dt = \pi$$
方法二：利用复变函数留数定理
1. 构造复函数
构造函数 $f(z) = \frac{e^{iz}}{z}$。
我们积分 $\frac{\sin x}{x}$ 其实是取 $\text{Im} \left( \int \frac{e^{ix}}{x} dx \right)$。
2. 选取积分路径
由于 $z=0$ 是奇点（极点），我们不能直接穿过原点。我们要选一个避开原点的闭合回路：
- $C_R$：上半平面的大半圆（半径 $R \to \infty$）。
- $C_r$：避开原点的小半圆（半径 $r \to 0$），顺时针方向。
- 实轴上的两段：$[-R, -r]$ 和 $[r, R]$。
3. 柯西积分定理
在围成的区域内没有奇点，所以环路积分总和为 0：
$$\oint_C f(z) dz = \int_{-R}^{-r} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int_{C_r} \frac{e^{iz}}{z} dz + \int_{r}^{R} \frac{e^{ix}}{x} dx + \int_{C_R} \frac{e^{iz}}{z} dz = 0$$
4. 逐项分析
- 大半圆 $C_R$： 当 $R \to \infty$ 时，根据约当引理 (Jordan’s Lemma)，因为 $e^{iz}$ 在上半平面有衰减因子，积分值为 0。
- 小半圆 $C_r$： 当 $r \to 0$ 时，利用小圆弧引理：
$$\lim_{r \to 0} \int_{C_r} \frac{e^{iz}}{z} dz = -j \pi \cdot \text{Res}(f, 0)$$
(注意：是顺时针绕行，所以有负号；绕了半圈，所以是 $\pi$ 而不是 $2\pi$)。
$z=0$ 处残数 $\text{Res} = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{e^{iz}}{z} = 1$。
所以此项为 $-j\pi$。
5. 合并结果
$$\left( \int_{-\infty}^{0} + \int_{0}^{\infty} \right) \frac{e^{ix}}{x} dx - j\pi = 0$$
$$\text{PV} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x} dx = j\pi$$
6. 取虚部
利用欧拉公式 $e^{ix} = \cos x + j\sin x$：
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x} dx + j \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = 0 + j\pi$$
比较等式两边的虚部：
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \pi$$
得证。
结论
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\omega t)}{t} dt = \begin{cases} \pi & (\omega > 0) \\ -\pi & (\omega < 0) \\ 0 & (\omega = 0) \end{cases}$$
公式 $\lim_{\omega \to \infty} \frac{\sin(\omega t)}{t} = \pi \delta(t)$ 描述的是狄拉克冲激函数（Dirac delta function） 的一种极限表示形式。
要理解这个等式为什么成立，我们需要从以下三个角度来分析：波形几何形状的变化、积分面积守恒以及广义函数的定义。
直观理解：波形的几何形状
让我们定义函数 $f_\omega(t) = \frac{\sin(\omega t)}{t}$。
随着参数 $\omega$（频率）变得越来越大，这个函数的图像会发生如下变化：
中心峰值（$t=0$）：
当 $t \to 0$ 时，根据洛必达法则（L’Hôpital’s rule）：
$$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(\omega t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\omega \cos(\omega t)}{1} = \omega$$
这意味着，随着 $\omega \to \infty$，函数在 $t=0$ 处的高度趋向于无穷大。零点位置（宽度）：
$\sin(\omega t) = 0$ 的第一个零点发生在 $\omega t = \pi$，即 $t = \frac{\pi}{\omega}$。
随着 $\omega \to \infty$，第一个零点 $t = \frac{\pi}{\omega}$ 会无限趋近于 0。这意味着主瓣（main lobe）的宽度变得无穷窄。震荡衰减：
在 $t \neq 0$ 的地方，随着 $\omega$ 增大，正弦函数震荡得极快。在广义函数的积分意义下，这些极快的正负震荡会相互抵消（Riemann-Lebesgue引理），使得除 0 点以外的值在积分作用下趋近于 0。
总结： 这是一个在 $t=0$ 处无限高、无限窄，而在其他地方趋于 0 的函数，这完全符合 $\delta(t)$ 的形态特征。
核心验证：面积（积分）守恒
仅有“无限高、无限窄”是不够的，$\delta(t)$ 函数的核心定义是其积分为 1。我们需要检查 $\frac{\sin(\omega t)}{t}$ 的总面积是多少。
计算该函数在全实数轴上的积分：
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(\omega t)}{t} dt$$
做一个变量代换，令 $x = \omega t$，则 $dt = \frac{1}{\omega} dx$。
$$I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x / \omega} \cdot \frac{1}{\omega} dx = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx$$
这是一个著名的积分，称为迪利克雷积分（Dirichlet Integral），其值为 $\pi$。
$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin(x)}{x} dx = \pi$$
结论：
无论 $\omega$ 有多大，该函数的曲线下面积始终恒定为 $\pi$。
因为标准 $\delta(t)$ 的面积是 1，而这个极限函数的面积是 $\pi$，且能量全部集中在 $t=0$ 处，所以：
$$\lim_{\omega \to \infty} \frac{\sin(\omega t)}{t} = \pi \delta(t)$$
频域角度（傅里叶变换）
在信号处理中，用频域解释最为直观。
我们考察一个频域为矩形窗函数（Rectangular function）的信号。
假设频域信号 $X(f)$ 是一个低通滤波器，通带宽度为 $\omega$（或者说截止频率与 $\omega$ 相关）：
$$X(f) = \begin{cases} \pi, & \text{for } |2\pi f| < \omega \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$$
（注：这里为了对应结果，幅值设为常数）
对其进行傅里叶逆变换，得到的时域信号正是 Sinc 函数形式：$\frac{\sin(\omega t)}{t}$。
- 当 $\omega$（带宽）趋向于无穷大时，频域变成了一个覆盖全频率、值为常数的直线（即白噪声谱）。
- 根据傅里叶变换对：常数的傅里叶逆变换是冲激函数。
$$\mathcal{F}^{-1}[\text{Constant}] \propto \delta(t)$$
总结
这个公式说明了 $\delta$ 函数不仅仅是一个抽象的数学定义，它可以通过让 Sinc 函数（$\frac{\sin x}{x}$）变得“更高、更瘦”来物理逼近。
- 为什么有 $\delta(t)$？ 因为函数集中在 $t=0$ 且无限窄。
- 为什么有系数 $\pi$？ 因为 $\frac{\sin(\omega t)}{t}$ 的总积分面积是 $\pi$，而不是 1。
3.6 傅立叶变换以及反变换
这是一对互为镜像的数学工具，是连接时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）的桥梁。
- 时域信号 $f(t)$：就像你在 DAW（宿主软件）里看到的波形（Waveform）。它告诉你某个时间点电压（音量）是多少，但很难直接看出它由哪些音高（频率）组成。
- 频域信号 $F(\omega)$：就像频谱分析仪（Spectrum Analyzer）或EQ 均衡器的界面。它不关心时间，只告诉你：低频有多少 dB？高频有多少 dB？
傅立叶变换（FT）：把波形变成频谱（分析成分）。
傅立叶反变换（IFT）：把频谱变回波形（合成信号）。
最通用的定义如下（角频率 $\omega$ 版本）：
傅立叶变换 (FT) —— 分析
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$$
- 输入：$f(t)$（关于时间的函数）
- 输出：$F(\omega)$（关于频率的函数，通常是复数，包含幅度和相位信息）。
- 物理意义：拿着一个频率为 $\omega$ 的探测器（$e^{-j\omega t}$）去“扫描”原信号。
- 积分代表“累加/相关性”。
- 如果 $f(t)$ 里包含很多 $\omega$ 频率的成分，积分值就很大。
- 如果 $f(t)$ 里没有这个频率，积分结果趋近于 0（正交性抵消）。
傅立叶反变换 (IFT) —— 合成
$$f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$$
- 输入：$F(\omega)$（频谱配方）
- 输出：$f(t)$（复原的时间波形）。
- 物理意义：加权叠加。
- $e^{j\omega t}$ 是基本的旋转向量（可以理解为纯正弦波）。
- 我们按照 $F(\omega)$ 指定的强度（幅度）和起始位置（相位），把无穷多个不同频率的波加在一起（积分），最后就神奇地还原出了原来的波形。
注意系数 $\frac{1}{2\pi}$：
在 $\omega$ 域中，这个系数通常放在反变换里。如果你考的是物理系，或者用 $f$ (Hz) 而不是 $\omega$ (rad/s)，系数的位置可能会变（变成 $\sqrt{2\pi}$ 或消失）。
深度解析：为什么是 $e^{-j\omega t}$？
你在做 Beat 的时候，可能习惯用 Sine Wave（正弦波）作为 Sub Bass。但在数学上，处理 $\sin$ 和 $\cos$ 的加减乘除太麻烦了。
欧拉公式拯救了我们：
$$e^{j\theta} = \cos \theta + j \sin \theta$$
- 螺旋视角：$e^{j\omega t}$ 代表一个在复平面上以角速度 $\omega$ 逆时针旋转的向量。
- FT 的 $e^{-j\omega t}$：这是顺时针旋转。它的作用是抵消原信号中的旋转分量，让其“停下来”以便我们测量其大小（即计算直流分量）。
- IFT 的 $e^{j\omega t}$：这是逆时针旋转。它的作用是让静止的频谱数据“转动起来”，生成实际的波动。
想象你在做一个 Boombap Beat：
合成（IFT 的过程）：
- 你从静音开始。
- 你拿来一个 50Hz 的正弦波（Sub Bass），把音量推大。
- 你拿来一个 200Hz 的波（Snare 基频），音量适中。
- 你拿来一堆 5000Hz+ 的波（Hi-hat 泛音）。
- Mix Bus（总线）把它们混合在一起，输出一个复杂的波形文件。
- 这就是反变换：从频率成分 $\to$ 生成波形。
采样与处理（FT 的过程）：
- 你从老唱片里采样了一段鼓声（复杂的 $f(t)$）。
- 你挂了一个 EQ（均衡器）。EQ 必须先“听懂”这段音频里有多少低频、多少高频。
- EQ 内部就在做变换：它把波形拆解，告诉你“100Hz 处有 3dB 的能量”。
- 这就是正变换：从波形 $\to$ 获得频率分布。
“对偶（Duality）”关系的性质：
- 线性性质：$a f_1(t) + b f_2(t) \leftrightarrow a F_1(\omega) + b F_2(\omega)$（混音时不失真）。
- 时移性质：$f(t-t_0) \leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0}$。
- 你在 DAW 里把波形往后拖一秒，频谱的幅度（EQ 曲线）不会变，但相位会变。
- 卷积定理（最重要的考点）：
- 时域卷积 = 频域相乘
- $f(t) * h(t) \leftrightarrow F(\omega) \cdot H(\omega)$
- 解释： 这就是为什么我们说卷积是“过系统”。信号 $X$ 通过一个系统 $H$（比如混响 Reverb），在时域是复杂的卷积运算，但在频域只是简单地把频谱乘起来（改变各个频率的增益）。
- FT 是拆解：把乐高积木搭好的房子（时域信号）拆成一堆分类好的砖块（频域数据）。
- IFT 是组装：按照说明书（频域数据），把砖块重新搭成房子（时域信号）。
3.7 常见傅立叶变换对
我们采用最通用的定义：$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$。
速查表
| 信号名称 | 时域 $f(t)$ | 频域 $F(\omega)$ | 备注 |
|---|---|---|---|
| 1. 冲激函数 | $\delta(t)$ | $1$ | 全频带能量相等 (白噪声) |
| 2. 直流信号 | $1$ | $2\pi \delta(\omega)$ | 只有 0 频率有值 |
| 3. 单边指数 | $e^{-at}u(t), (a>0)$ | $\frac{1}{a + j\omega}$ | 系统稳定性的基础 |
| 4. 门函数 | $\text{rect}(t/\tau)$ | $\tau \text{sinc}(\frac{\omega \tau}{2\pi})$ 或 $\tau \frac{\sin(\omega\tau/2)}{\omega\tau/2}$ | 矩形 $\leftrightarrow$ Sinc |
| 5. 符号函数 | $\text{sgn}(t)$ | $\frac{2}{j\omega}$ | 用于推导阶跃信号 |
详细推导与证明
冲激函数 (The Delta Function)
$$f(t) = \delta(t)$$
这是最简单但最重要的一个。
证明：
利用冲激函数的采样性质 (Sampling Property)：$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) g(t) dt = g(0)$。
$$F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j\omega t} dt = e^{-j\omega \cdot 0} = 1$$
直观理解： 一个无限窄的瞬间脉冲（比如你的 Click 采样），包含了所有频率成分，且强度相等。
直流常数 (The Constant)
$$f(t) = 1$$
直接积分 $\int 1 \cdot e^{-j\omega t} dt$ 不收敛，必须利用对偶性 (Duality) 来证明。
证明：
已知 $\delta(t) \leftrightarrow 1$。
根据对偶性：若 $f(t) \leftrightarrow F(\omega)$，则 $F(t) \leftrightarrow 2\pi f(-\omega)$。
将 $\delta(t) \leftrightarrow 1$ 代入：
把 $F(t) = 1$ 看作时域信号，那么它的频谱是 $2\pi \delta(-\omega)$。
因为 $\delta$ 函数是偶函数，即 $\delta(-\omega) = \delta(\omega)$。
$$\therefore \mathcal{F}[1] = 2\pi \delta(\omega)$$
单边指数衰减 (Exponential Decay)
$$f(t) = e^{-at}u(t) \quad (a > 0)$$
这是线性系统（LTI）冲激响应最常见的形式。
证明：
因为有阶跃函数 $u(t)$，积分下限从 0 开始。
$$F(\omega) = \int_{0}^{\infty} e^{-at} e^{-j\omega t} dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(a+j\omega)t} dt$$
计算定积分：
$$= \left[ \frac{-1}{a+j\omega} e^{-(a+j\omega)t} \right]_{0}^{\infty}$$
由于 $a>0$，当 $t \to \infty$ 时，$e^{-at} \to 0$。
$$= 0 - \left( \frac{-1}{a+j\omega} \cdot 1 \right) = \frac{1}{a+j\omega}$$
矩形脉冲 / 门函数 (Rectangular Pulse)
设脉冲宽度为 $\tau$，幅度为 1，中心在原点。
$$f(t) = \begin{cases} 1 & |t| < \tau/2 \ 0 & \text{其他} \end{cases}$$
证明：
$$F(\omega) = \int_{-\tau/2}^{\tau/2} 1 \cdot e^{-j\omega t} dt = \left[ \frac{e^{-j\omega t}}{-j\omega} \right]_{-\tau/2}^{\tau/2}$$
代入上下限：
$$= \frac{e^{-j\omega \tau/2} - e^{j\omega \tau/2}}{-j\omega} = \frac{e^{j\omega \tau/2} - e^{-j\omega \tau/2}}{j\omega}$$
利用欧拉公式 $\sin x = \frac{e^{jx} - e^{-jx}}{2j}$，分子部分就是 $2j \sin(\omega \tau/2)$。
$$= \frac{2j \sin(\omega \tau/2)}{j\omega} = \frac{2 \sin(\omega \tau/2)}{\omega}$$
为了凑成 Sinc 函数的形式（$\text{Sa}(x) = \sin x / x$），分子分母同乘 $\tau/2$：
$$= \tau \frac{\sin(\omega \tau/2)}{\omega \tau/2} = \tau \text{Sa}\left(\frac{\omega \tau}{2}\right)$$
(注：不同教材对 Sinc 定义略有不同，有的含 $\pi$，有的不含，考试时以此推导结果为准)
- 符号函数 (Signum Function)
$$f(t) = \text{sgn}(t) = \begin{cases} 1 & t>0 \ -1 & t<0 \end{cases}$$
直接积分也不收敛，需要引入一个衰减因子 $e^{-a|t|}$ 然后令 $a \to 0$。
证明：
$$f(t) = \lim_{a \to 0} (e^{-at}u(t) - e^{at}u(-t))$$
这就是一个向右的衰减指数 减去 一个向左的衰减指数。
利用线性性质和刚才推导的单边指数公式：
右边部分：$\frac{1}{a+j\omega}$
左边部分（利用时间反转性质）：$\frac{1}{a-j\omega}$
$$F(\omega) = \lim_{a \to 0} \left( \frac{1}{a+j\omega} - \frac{1}{a-j\omega} \right)$$
通分：
$$= \lim_{a \to 0} \frac{(a-j\omega) - (a+j\omega)}{a^2 + \omega^2} = \lim_{a \to 0} \frac{-2j\omega}{a^2 + \omega^2}$$
令 $a=0$：
$$= \frac{-2j\omega}{\omega^2} = \frac{-2j}{\omega} = \frac{2}{j\omega}$$
例子：
求 $f(t) = e^{-a|t|}$ (双边指数) 的傅立叶变换。
思路：
不要积分！把它看作 $e^{-at}u(t)$ 加上 $e^{at}u(-t)$。
- 由对 3 可知，$e^{-at}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{a+j\omega}$。
- 由时间反转性质，$e^{at}u(-t) \leftrightarrow \frac{1}{a-j\omega}$。
- 两者相加：
$$F(\omega) = \frac{1}{a+j\omega} + \frac{1}{a-j\omega} = \frac{a-j\omega + a+j\omega}{a^2 + \omega^2} = \frac{2a}{a^2 + \omega^2}$$
这就是著名的 柯西分布（Lorentzian function）形式。
速查表 (Cheat Sheet)
| 信号 $f(t)$ | 频域 $F(\omega)$ | 核心特征/物理意义 |
|---|---|---|
| 1. 阶跃函数 $u(t)$ | $\pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$ | 直流分量 + $1/f$ 衰减 |
| 2. 余弦波 $\cos(\omega_0 t)$ | $\pi [\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega + \omega_0)]$ | 频谱上左右各一根“柱子” |
| 3. 正弦波 $\sin(\omega_0 t)$ | $-j\pi [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$ | 同上，但相位不同（虚数） |
| 4. Sinc函数 $\frac{\sin(Wt)}{\pi t}$ | $G_{2W}(\omega)$ (带宽为 $W$ 的矩形门) | 理想低通滤波器 |
单位阶跃函数 $u(t)$
$$u(t) = \begin{cases} 1 & t > 0 \\ 0 & t < 0 \end{cases}$$
难点： 直接积分 $\int_0^\infty 1 \cdot e^{-j\omega t} dt$ 不收敛。
技巧： 利用奇偶分解，把 $u(t)$ 拆解成“直流常数”和“符号函数”。
证明：
我们可以把阶跃函数写成：
$$u(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\text{sgn}(t)$$
(解释：$1/2 + 1/2 = 1$ (当 $t>0$)；$1/2 - 1/2 = 0$ (当 $t<0$))
利用线性性质，分别求这两部分的变换：
- 常数部分： 之前讲过，$\mathcal{F}[1] = 2\pi \delta(\omega)$。
所以 $\mathcal{F}[1/2] = \pi \delta(\omega)$。 - 符号函数部分： 之前讲过，$\mathcal{F}[\text{sgn}(t)] = \frac{2}{j\omega}$。
所以 $\mathcal{F}[\frac{1}{2}\text{sgn}(t)] = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{j\omega} = \frac{1}{j\omega}$。
结论：
$$F(\omega) = \pi \delta(\omega) + \frac{1}{j\omega}$$
Producer 的直觉：
想象你突然打开一个合成器（从静音突然变成恒定电压）。
- $\pi \delta(\omega)$：这是DC Offset（直流偏移），因为电压停在 1V 没下来。
- $\frac{1}{j\omega}$：这是那个“啪”的一声（Click/Pop），包含了丰富的高频，但随着频率升高能量迅速衰减。
余弦波 $\cos(\omega_0 t)$ 与 3. 正弦波 $\sin(\omega_0 t)$
难点： 也是积分不收敛。
技巧： 欧拉公式 + 频移性质。
回顾性质：$\mathcal{F}[e^{j\omega_0 t}] = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$ （频谱搬移）。
证明 $\cos(\omega_0 t)$：
$$\cos(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} + e^{-j\omega_0 t}}{2}$$
两边取傅立叶变换：
$$F(\omega) = \frac{1}{2} \left( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) + 2\pi \delta(\omega - (-\omega_0)) \right)$$
$$F(\omega) = \pi \delta(\omega - \omega_0) + \pi \delta(\omega + \omega_0)$$
证明 $\sin(\omega_0 t)$：
$$\sin(\omega_0 t) = \frac{e^{j\omega_0 t} - e^{-j\omega_0 t}}{2j}$$
两边取傅立叶变换：
$$F(\omega) = \frac{1}{2j} \left( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) - 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \right)$$
$$F(\omega) = -j\pi \delta(\omega - \omega_0) + j\pi \delta(\omega + \omega_0)$$
或者写成：
$$F(\omega) = -j\pi [\delta(\omega - \omega_0) - \delta(\omega + \omega_0)]$$
图解：
如果你在频谱仪上看一个纯正弦波（Pure Sine），你会看到什么？
理论上是一根柱子。但在数学的双边频谱里，它是对称的两根柱子（正负频率各一根）。
Sinc 函数 $\frac{\sin(W t)}{\pi t}$
这是一个在采样定理和滤波器设计中至高无上的函数。
(注意：为了区分变量，我用 $W$ 代表截止频率常数)
目标： 求 $f(t) = \frac{\sin(W t)}{\pi t}$ 的变换。
技巧： 利用对偶性 (Duality)。
我们之前证明过：矩形脉冲 $\rightarrow$ Sinc 频谱。
根据对称性：Sinc 脉冲 $\rightarrow$ 矩形频谱。
证明：
- 回顾“门函数”（矩形）的变换：
设频域有一个门函数 $G(\omega)$，即理想低通滤波器：
$$G(\omega) = \begin{cases} 1 & |\omega| < W \ 0 & |\omega| > W \end{cases}$$ - 对这个 $G(\omega)$ 做反变换求 $g(t)$：
$$g(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-W}^{W} 1 \cdot e^{j\omega t} d\omega$$
$$= \frac{1}{2\pi} \left[ \frac{e^{j\omega t}}{jt} \right]_{-W}^{W} = \frac{1}{2\pi jt} (e^{jWt} - e^{-jWt})$$
$$= \frac{1}{\pi t} \sin(Wt) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t}$$ - 逆向思维成功：
既然频域的“矩形 $G(\omega)$” 对应 时域的“Sinc $g(t)$”。
那么，时域的 $f(t) = \frac{\sin(Wt)}{\pi t}$，其傅立叶变换就是那个频域矩形。
结论：
$$F(\omega) = \begin{cases} 1 & |\omega| < W \\ 0 & \text{其他} \end{cases}$$
这是一个在信号与系统领域中最基础、最重要的变换对之一。如果不理解它，后续所有的调制、解调、采样定理的学习都会变得非常困难。
我们从直观物理意义、数学推导以及它的作用三个方面来彻底拆解这个公式：
$$\mathcal{F}{e^{j\omega_0 t}} = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$$
直观物理意义：完美的“单色光”
想象一下 $e^{j\omega_0 t}$ 是什么？
在时域上，它是一个复指数信号，其实质是一个旋转向量，以恒定的角速度 $\omega_0$ 在复平面上旋转。它的频率是极其纯粹的，只有 $\omega_0$ 这一个频率成分。
那么，它的频谱（傅里叶变换）应该长什么样？
既然它只有 $\omega_0$ 这一个频率，那么在频率轴 $\omega$ 上：
- 在 $\omega = \omega_0$ 的地方，应该有能量（因为信号就在这儿）。
- 在 $\omega \neq \omega_0$ 的其他任何地方，都不应该有能量（值为 0）。
谁能描述这种“只在一点有值，其他地方全为 0”的函数？
只有 冲激函数（Delta function, $\delta$）。
所以，$\delta(\omega - \omega_0)$ 表示能量集中在 $\omega_0$ 这一点。
至于前面的系数 $2\pi$，那只是数学定义带来的“单位换算”常数（后面会讲）。
数学推导：反向证明法
如果你尝试直接用正向傅里叶变换公式去推导，会发现积不出来：
$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega_0 t} \cdot e^{-j\omega t} dt = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega - \omega_0)t} dt$$
这个积分在普通函数意义下是不收敛的（因为它一直震荡，面积无穷大）。
所以，数学上通常用傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）来反向验证。
目标：我们要证明 $X(j\omega) = 2\pi \delta(\omega - \omega_0)$ 的逆变换就是 $x(t) = e^{j\omega_0 t}$。
步骤：
根据逆变换定义式：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$$
将假设的频谱 $2\pi \delta(\omega - \omega_0)$ 代入：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} [2\pi \delta(\omega - \omega_0)] e^{j\omega t} d\omega$$
约分：分子分母的 $2\pi$ 抵消。
$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(\omega - \omega_0) e^{j\omega t} d\omega$$利用 $\delta$ 函数的筛选性质（Sifting Property）：
性质回顾：$\int \delta(x - x_0) f(x) dx = f(x_0)$。
这里变量是 $\omega$，采样点是 $\omega_0$。我们将积分里的 $\omega$ 全部替换成 $\omega_0$。结果：
$$x(t) = e^{j\omega_0 t}$$
证毕！ 既然逆变换回得去，那么正变换自然就成立。
它的威力：搞定 $\sin$ 和 $\cos$
你刚才做的 4.3 题，之所以能把 $\sin$ 和 $\cos$ 变成冲激函数，全靠这个核心变换对和欧拉公式的结合。
以 $\cos(\omega_0 t)$ 为例：
- 欧拉公式拆解：
$$\cos(\omega_0 t) = \frac{1}{2} e^{j\omega_0 t} + \frac{1}{2} e^{-j\omega_0 t}$$ - 应用核心变换对：
- 第一项 $\frac{1}{2} e^{j\omega_0 t}$ 变成 $\frac{1}{2} \cdot [2\pi \delta(\omega - \omega_0)] = \pi \delta(\omega - \omega_0)$
- 第二项 $\frac{1}{2} e^{-j\omega_0 t}$ 变成 $\frac{1}{2} \cdot [2\pi \delta(\omega + \omega_0)] = \pi \delta(\omega + \omega_0)$
3.8 傅立叶变换的性质
第一类：基本操作 (Basics)
线性性质 (Linearity)
$$a x_1(t) + b x_2(t) \longleftrightarrow a X_1(\omega) + b X_2(\omega)$$
- 含义： 叠加原理。
- Producer 直觉： Mix Bus。你把 Kick 和 Snare 在混音台上推起来，它们的频谱也是简单相加的，不会互相干扰产生新的奇怪频率（除非你加了非线性失真效果器）。
对偶性 / 对称性 (Duality/Symmetry)
$$X(t) \longleftrightarrow 2\pi x(-\omega)$$
- 含义： 时域和频域的形状是可以互换的。
- 考点： 如果题目让你求 $F(\omega) = \frac{1}{1+j\omega}$ 对应的时域信号，你不需要积分，只要想起 $e^{-t}u(t) \leftrightarrow \frac{1}{1+j\omega}$，然后利用对偶性反推。
- 注意： 系数 $2\pi$ 和负号 $-\omega$ 是扣分点。
共轭对称性 (Conjugate Symmetry)
若 $x(t)$ 是实数信号（现实世界的大部分信号），则：
$$X(-\omega) = X^*(\omega)$$
这意味着幅度谱 $|X(\omega)|$ 是偶对称的，相位谱 $\angle X(\omega)$ 是奇对称的。
- Producer 直觉： 这就是为什么你在 EQ 插件里只看得到 $0$ 到 $20\text{kHz}$ 的频谱。因为负频率部分和正频率部分是镜像的，看一半就够了。
第二类：移动与变形 (Shift & Scale)
时移性质 (Time Shifting)
$$x(t - t_0) \longleftrightarrow X(\omega) e^{-j\omega t_0}$$
- 含义： 信号延迟，频谱幅度不变，但相位会发生线性变化。
- Producer 直觉： Delay / Phasing。你把一个 Snare 往后拖几毫秒，听起来音色（频谱幅度）没变，但如果你把它和原信号叠在一起，变化的相位会导致梳状滤波（Comb Filtering）。
频移性质 (Frequency Shifting / Modulation)
$$x(t) e^{j\omega_0 t} \longleftrightarrow X(\omega - \omega_0)$$
- 含义： 在时域乘以复指数（旋转因子），等于在频域把整个频谱搬移。
- 应用： 通信原理的核心（AM/FM 调制），把低频语音搬到高频载波上发射出去。
尺度变换 (Time Scaling)
$$x(at) \longleftrightarrow \frac{1}{|a|} X\left(\frac{\omega}{a}\right)$$
- 含义： 反比关系。时域压缩（快放），频域展宽（变高频）；时域拉伸（慢放），频域收缩（变低频）。
- Producer 直觉： Sample Pitching。
- 当你把一个采样加速 ($a>1$) 播放，它的时长变短了，同时音高（频率）变高了，频谱变宽了。
- 测不准原理： 信号不能在时域和频域同时极其窄。Click 声（极短）必然对应全频带（极宽）。
第三类：微积分性质 (Calculus) —— 考研重灾区
时域微分 (Time Differentiation)
$$\frac{dx(t)}{dt} \longleftrightarrow j\omega X(\omega)$$
- 含义： 求导等于乘以 $j\omega$。
- 物理意义： 越高的频率，变化越快，导数越大。所以微分器本质上是一个高通滤波器（High Pass Filter），它放大了高频分量。
时域积分 (Time Integration)
$$\int_{-\infty}^{t} x(\tau) d\tau \longleftrightarrow \frac{1}{j\omega} X(\omega) + \pi X(0) \delta(\omega)$$
- 含义： 积分等于除以 $j\omega$（加上直流项）。
- 物理意义： 积分器是一个低通滤波器（Low Pass Filter），它抑制了高频噪声，平滑了信号。
- 注意： 后面那个 $\pi X(0)\delta(\omega)$ 是因为积分可能会产生直流偏置，考试忘了写必扣分。
频域微分 (Frequency Differentiation)
$$(-jt) x(t) \longleftrightarrow \frac{dX(\omega)}{d\omega}$$
或者记作：$t x(t) \longleftrightarrow j \frac{dX(\omega)}{d\omega}$
- 考点： 用于求 $t e^{-at} u(t)$ 这种“斜坡×指数”的变换。
第四类：相互作用 (Interaction) —— 最重要的性质
时域卷积定理 (Time Convolution)
$$x_1(t) * x_2(t) \longleftrightarrow X_1(\omega) \cdot X_2(\omega)$$
- 地位： 信号与系统的第一定律。
- 含义： 时域复杂的卷积运算，变成了频域简单的乘法。
- Producer 直觉： Reverb / Convolution Reverb。
- 你想给干声（Dry Vocal）加混响。
- 方法 A（时域）：把人声和教堂的冲激响应（IR）做卷积，运算量巨大。
- 方法 B（频域）：把人声变到频域，把 IR 变到频域，两个乘一下，再变回来。快得多！
频域卷积 (Frequency Convolution / Windowing)
$$x_1(t) \cdot x_2(t) \longleftrightarrow \frac{1}{2\pi} [X_1(\omega) * X_2(\omega)]$$
- 含义： 时域相乘（比如加窗 Windowing，或者 AM 调制），对应频域卷积。
- 注意： 这里的 $\frac{1}{2\pi}$ 系数非常容易忘！
第五类：能量守恒 (Energy)
帕塞瓦尔定理 (Parseval’s Theorem)
$$\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2 d\omega$$
- 含义： 信号的总能量在时域算和在频域算是一样的。
- 考点： 考研数学题经常让你求一个 $\int (\frac{\sin t}{t})^2 dt$ 这种恶心的积分。这时候你要立刻反应过来：别积分！ 转去求它频域对应矩形函数的能量，简直秒杀。
傅立叶变换的对偶性质（Duality Property）是信号与系统中最迷人、也最实用的性质之一。它揭示了时域（Time Domain）和频域（Frequency Domain）之间深刻的对称性。
简单来说，如果你知道一个函数在时域的傅立叶变换是什么，那么你几乎也就知道了该函数作为频域波形时对应的时域信号是什么。
为了理解对偶性，我们先看傅立叶变换（FT）和傅立叶逆变换（IFT）的公式。你会发现它们长得非常像：
- 正变换（FT）：
$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j\omega t} dt$$ - 逆变换（IFT）：
$$x(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$$
观察： 这两个公式的区别仅仅在于：
- 系数 $\frac{1}{2\pi}$。
- 指数项的符号（$e^{-j\omega t}$ 和 $e^{j\omega t}$）。
正是这种数学结构上的“镜像”关系，导致了性质上的“对偶”。
如果已知变换对：
$$x(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} X(j\omega)$$
那么，如果我们把频域函数 $X(j\omega)$ 的形式直接拿到时域来用，变成 $X(t)$，它的傅立叶变换是什么呢？
结论是：
$$\mathcal{F}{X(t)} = 2\pi x(-\omega)$$
或者写作：
$$X(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} 2\pi x(-\omega)$$
这里有两个细节要注意：
- 出现了一个常数因子 $2\pi$。
- 原来的函数 $x$ 发生了时间反转（变成了 $x(-\omega)$）。如果是偶函数（Even function），负号可以忽略。
最经典的例子：矩形脉冲与 Sinc 函数
这是理解对偶性质最好的例子。
场景 A：时域是方波（门函数）
当我们在时域有一个矩形脉冲（Rectangular Pulse）时，它的频谱是 Sinc 函数（震荡衰减）。
- $x(t) = Rect(t)$
- $X(j\omega) = Sinc(\omega)$
- 物理意义：一个有限时长的信号，其频带是无限宽的。
场景 B：利用对偶性
如果我们想设计一个“理想低通滤波器”，它的频域响应是一个矩形（只允许特定频率通过，其他切断）。那么它的时域冲击响应是什么样呢？
- 我们要找 $y(t)$，使得 $Y(j\omega) = Rect(\omega)$。
- 根据对偶性，既然“时域方波对应频域Sinc”，那么“频域方波一定对应时域Sinc”。
- 所以：$y(t) = Sinc(t)$（忽略常数系数和正负号）。
总结：
- 方波 $\leftrightarrow$ Sinc
- Sinc $\leftrightarrow$ 方波
这就是对偶性：角色互换，关系不变。
为什么这个性质很有用？
- 减少背诵量：你只需要背一半的傅立叶变换表。例如，你知道 $\delta(t) \leftrightarrow 1$，根据对偶性，立刻就能推导出直流信号 $1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$。
- 解决复杂积分：有些函数的傅立叶变换积分很难算（比如求 Sinc 函数的傅立叶变换）。但是如果你利用对偶性，把它看作已知的矩形函数的逆过程，答案就直接出来了，完全不需要做积分计算。
- 理解不确定性原理：对偶性告诉我们，时域越“窄”（越集中），频域就越“宽”（越分散），反之亦然。短脉冲对应宽频带，长信号对应窄频带。
快速推导证明（帮助记忆）
我们可以从逆变换公式出发简单证明：
- 写出逆变换公式：
$$2\pi x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{j\omega t} d\omega$$ - 将变量 $t$ 替换为 $-t$：
$$2\pi x(-t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(j\omega) e^{-j\omega t} d\omega$$ - 现在的右边，是不是长得很像傅立叶正变换的定义式？我们把积分变量的名字 $\omega$ 改写成 $t$，把外面的参数 $-t$ 改写成 $\omega$（只是换个名字，数学本质不变）：
$$2\pi x(-\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} X(t) e^{-j\omega t} dt$$ - 右边正是 $X(t)$ 的傅立叶变换！所以：
$$\mathcal{F}{X(t)} = 2\pi x(-\omega)$$
在信号处理中，有一个必须记住的“名片”级变换对：
时域的周期冲激串 $\longleftrightarrow$ 频域的周期冲激串
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT) \quad \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \quad \frac{2\pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta\left(\omega - k \frac{2\pi}{T}\right)$$
公式解读：
- 形态不变： 左边是一排间隔为 $T$ 的冲激，右边也是一排冲激。
- 间隔倒数： 时域间隔是 $T$，频域间隔变成了 $\omega_s = \frac{2\pi}{T}$（角频率）。
- 幅度缩放（关键点）： 频域的冲激前面多了一个系数 **$\frac{2\pi}{T}$**。
我们要处理的信号是：
$$g(t) = \pi \cdot \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - k T)}_{\text{标准冲激串}}$$
已知条件：$T = \frac{\pi}{4}$。
第一步：计算采样角频率（频域间隔）
$$\omega_s = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{\pi/4} = 8$$
第二步：计算频域的幅度系数（Scaling Factor）
根据上面的公式，变换后的幅度系数应该是 $\frac{2\pi}{T}$：
$$\text{系数} = \frac{2\pi}{T} = 8$$
第三步：写出标准冲激串的变换
$$\sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(t - kT) \longleftrightarrow 8 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - 8k)$$
第四步：加上原本的系数 $\pi$
因为 $g(t)$ 最前面还有一个常数 $\pi$，根据线性性质，频域也要乘以 $\pi$：
$$G(j\omega) = \pi \cdot \left( 8 \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - 8k) \right)$$
$$G(j\omega) = 8\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - 8k)$$
深度理解：为什么系数是 $\frac{2\pi}{T}$？（推导逻辑）
你可能会疑惑：为什么时域是 1，频域变成了 $2\pi/T$？这多出来的能量是哪来的？
我们可以通过傅里叶级数（Fourier Series）来理解：
视为周期信号：
$p(t) = \sum \delta(t-kT)$ 是一个周期为 $T$ 的信号。任何周期信号都可以展开成傅里叶级数：
$$p(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{j k \omega_s t}$$求级数系数 $a_k$：
在一个周期 $[-T/2, T/2]$ 内，信号只有一个冲激 $\delta(t)$。
$$a_k = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} \delta(t) e^{-j k \omega_s t} dt$$
根据冲激函数的采样性质，积分结果为 1。
$$a_k = \frac{1}{T}$$
注意： 这里出现了 $\frac{1}{T}$。这意味着时域冲激串在频域分解后，每一根谱线的“高度”都是 $1/T$。从级数转到变换：
现在我们对展开后的级数做傅里叶变换：
$$
\mathcal{F} \left[ \sum_{k} \frac{1}{T} e^{j k \omega_s t} \right] = \sum_{k} \frac{1}{T} \mathcal{F} [ e^{j k \omega_s t} ]
$$
$$= \sum_{k} \frac{1}{T} \cdot 2\pi \delta(\omega - k\omega_s)$$
$$= \frac{2\pi}{T} \sum_{k} \delta(\omega - k\omega_s)$$
总结：
那个系数 $\frac{2\pi}{T}$ 其实是由两部分组成的：
- $\frac{1}{T}$ 来自傅里叶级数的平均作用（能量分散到各个谐波）。
- $2\pi$ 来自从复指数 $e^{j\omega t}$ 到冲激 $\delta(\omega)$ 的变换常数。
3.9 调制与解调
在信号与系统（Signals and Systems）中，调制（Modulation）与解调（Demodulation）是通信系统的核心基石。
一句话概括：调制就是把信号“搬”到高频段传输，解调就是把信号从高频段“搬”回来。
我们可以从物理直觉和数学原理两个层面来理解。
为什么要调制？ (Motivation)
你可能会问：我有声音信号（比如 20Hz - 20kHz），直接通过天线发出去不行吗？为什么要搞这么复杂？
主要有两个原因：
天线尺寸限制：
天线的最佳长度通常是电磁波波长的 $1/4$ ($\lambda/4$)。- 声音信号频率低（如 3kHz），波长 $\lambda = c/f = 3\times 10^8 / 3000 = 100 \text{km}$。
- 如果不调制，你需要一根 25公里长 的天线，这显然是不可能的。
- 调制到高频（如 100MHz），波长变为 3米，天线只需 0.75米，这就是手机和收音机天线能做得很小的原因。
**频分复用 (FDM)**：
空气是共享介质。如果大家都直接发低频信号，所有人的声音都会混在一起互相干扰。
通过调制，我们可以把你的信号搬到 100MHz，把他的信号搬到 101MHz，大家在不同的车道上跑，互不干扰。
调制的数学原理 (Modulation)
最基础的调制方式是 **幅度调制 (Amplitude Modulation, AM)**。
时域操作
假设我们有：
- 基带信号 (Baseband Signal) $x(t)$：这是我们要发送的有用信息（如语音），频谱集中在低频。
- 载波信号 (Carrier Signal) $c(t) = \cos(\omega_c t)$：这是一个高频的正弦波。
调制的过程，在时域上就是简单的相乘：
$$y(t) = x(t) \cdot \cos(\omega_c t)$$
频域操作（核心魔法）
根据傅立叶变换的调制性质（Frequency Shifting Property）：
时域的乘积，对应频域的卷积。
若 $x(t) \leftrightarrow X(j\omega)$，且 $\cos(\omega_c t) \leftrightarrow \pi[\delta(\omega - \omega_c) + \delta(\omega + \omega_c)]$。
那么调制后的信号 $Y(j\omega)$ 为：
$$Y(j\omega) = \frac{1}{2\pi} [X(j\omega) * C(j\omega)]$$
$$Y(j\omega) = \frac{1}{2} [X(j(\omega - \omega_c)) + X(j(\omega + \omega_c))]$$
直观解释：
原本位于 $\omega=0$ 附近的频谱 $X(j\omega)$，被一分为二，左右各搬移到了 $+\omega_c$ 和 $-\omega_c$ 的位置，幅度减半。
这就是“搬运”的本质：频谱的平移。
解调的数学原理 (Demodulation)
现在信号 $y(t)$ 已经在高频段 $\omega_c$ 处了，接收端如何把它还原回 $x(t)$？
最常用的方法是**同步解调 (Synchronous Demodulation)**。
第一步：再次相乘
我们在接收端把接收到的信号 $y(t)$ 再次乘以同频率的载波 $\cos(\omega_c t)$：
$$z(t) = y(t) \cdot \cos(\omega_c t)$$
$$z(t) = [x(t) \cos(\omega_c t)] \cdot \cos(\omega_c t) = x(t) \cos^2(\omega_c t)$$
利用三角恒等式 $\cos^2\theta = \frac{1}{2}(1 + \cos 2\theta)$：
$$z(t) = x(t) \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cos(2\omega_c t) \right]$$
$$z(t) = \frac{1}{2}x(t) + \frac{1}{2}x(t)\cos(2\omega_c t)$$
第二步：频谱分析
看看 $z(t)$ 里有什么：
- **$\frac{1}{2}x(t)$**：这正是我们要的原始信号！它位于低频（基带）。
- **$\frac{1}{2}x(t)\cos(2\omega_c t)$**：这是一个被搬移到 **$2\omega_c$**（两倍载波频率）的高频信号。
第三步：低通滤波 (Low Pass Filter)
我们只需要低频部分。所以，让 $z(t)$ 通过一个**低通滤波器 (LPF)**，滤掉 $2\omega_c$ 的高频分量。
结果： 剩下的就是 $\frac{1}{2}x(t)$。解调成功！
总结
- 调制：$x(t) \cdot \cos(\omega_c t)$。作用是将频谱 $X(j\omega)$ 从零频搬移到 $\pm \omega_c$。
- 解调：再乘一次 $\cos(\omega_c t)$。作用是将频谱从 $\pm \omega_c$ 再次搬移：
- 一部分搬回零频（复原）。
- 一部分搬到更远的 $\pm 2\omega_c$（通过低通滤波器滤除）。
3.10 共轭性与奇偶性
共轭对称性 (Conjugate Symmetry):
- 若 $x(t)$ 是实信号 (Real) $\iff X(j\omega)$ 是共轭对称的，即 $X(j\omega) = X^*(-j\omega)$。
- 这意味着：$X(j\omega)$ 的实部是偶函数，虚部是奇函数。
- 若 $x(t)$ 是纯虚信号 (Pure Imaginary) $\iff X(j\omega)$ 是共轭反对称的。
- 这意味着：$X(j\omega)$ 的实部是奇函数，虚部是偶函数。
- 若 $x(t)$ 是实信号 (Real) $\iff X(j\omega)$ 是共轭对称的，即 $X(j\omega) = X^*(-j\omega)$。
奇偶性 (Parity):
- $x(t)$ 是实偶 (Real & Even) $\iff X(j\omega)$ 是**实偶 (Real & Even)**。
- $x(t)$ 是实奇 (Real & Odd) $\iff X(j\omega)$ 是**纯虚奇 (Imaginary & Odd)**。
- $x(t)$ 是虚偶 (Imaginary & Even) $\iff X(j\omega)$ 是**纯虚偶 (Imaginary & Even)**。
- $x(t)$ 是虚奇 (Imaginary & Odd) $\iff X(j\omega)$ 是**实奇 (Real & Odd)**。
(a) $X_1(j\omega) = u(\omega) - u(\omega - 2)$
分析 $X_1(j\omega)$：
这是一个矩形窗函数，仅在 $\omega \in [0, 2]$ 范围内值为 1，其余为 0。- $X_1(j\omega)$ 是一个纯实数函数。
- 奇偶性： 它的图像只在正轴有值，负轴为0。因此它既不是偶函数，也不是奇函数。
推导 $x(t)$：
- 如果 $x(t)$ 是实数，则 $X(j\omega)$ 的实部必须是偶函数。这里实部显然不是偶函数，所以 $x(t)$ 不是实数。
- 如果 $x(t)$ 是纯虚数，则 $X(j\omega)$ 的实部必须是奇函数。这里也不是，所以 $x(t)$ 不是纯虚数。
- $x(t)$ 具有奇偶性吗？因为 $X(j\omega)$ 既不偶也不奇，所以 $x(t)$ 既不偶也不奇。
结论 (a)：
(i) 既不是实数也不是虚数（是复数）；
(ii) 既不是偶函数也不是奇函数。
(b) $X_2(j\omega) = \cos(2\omega) \sin(\frac{\omega}{2})$
分析 $X_2(j\omega)$：
这是一个纯实数函数。我们需要检查它的奇偶性。- $\cos(2\omega)$ 是偶函数。
- $\sin(\frac{\omega}{2})$ 是奇函数。
- 偶函数 $\times$ 奇函数 = 奇函数。
- 所以，$X_2(j\omega)$ 是一个**实奇函数 (Real & Odd)**。
推导 $x(t)$：
根据性质：$x(t)$ 是虚奇 $\iff X(j\omega)$ 是实奇。
(注意：很多同学容易记反。实奇信号对应纯虚奇频谱；虚奇信号对应实奇频谱。)或者用共轭对称性验证：
因为 $X$ 是实数且为奇函数 $\rightarrow$ 实部为奇，虚部为0（偶）。
实部为奇、虚部为偶 $\rightarrow$ 对应纯虚信号。又因为 $X(j\omega)$ 是奇函数，所以 $x(t)$ 也是奇函数。
结论 (b)：
(i) 纯虚信号；
(ii) 奇函数。
(c) $X_3(j\omega) = A(\omega)e^{jB(\omega)}$
其中 $A(\omega) = \frac{\sin 2\omega}{\omega}$ (抽样函数形式)，$B(\omega) = 2\omega + \frac{\pi}{2}$。
化简表达式：
$$X_3(j\omega) = \frac{\sin 2\omega}{\omega} e^{j(2\omega + \frac{\pi}{2})} = \frac{\sin 2\omega}{\omega} e^{j2\omega} \cdot e^{j\frac{\pi}{2}}$$
我们知道 $e^{j\frac{\pi}{2}} = j$。
$$X_3(j\omega) = j \left[ \frac{\sin 2\omega}{\omega} (\cos 2\omega + j\sin 2\omega) \right]$$
$$X_3(j\omega) = -\frac{\sin 2\omega \sin 2\omega}{\omega} + j \frac{\sin 2\omega \cos 2\omega}{\omega}$$分析实部和虚部：
- 实部 $\text{Re}{X} = -\frac{\sin^2 2\omega}{\omega}$。
- 分子 $\sin^2$ 是偶，分母 $\omega$ 是奇 $\rightarrow$ 实部是奇函数。
- 虚部 $\text{Im}{X} = \frac{\sin 4\omega}{2\omega}$。
- 分子 $\sin$ 是奇，分母 $\omega$ 是奇 $\rightarrow$ 虚部是偶函数。
- 实部 $\text{Re}{X} = -\frac{\sin^2 2\omega}{\omega}$。
推导 $x(t)$：
- 实部是奇，虚部是偶 $\rightarrow$ 满足共轭反对称性质。因此 $x(t)$ 是纯虚信号。
- 关于奇偶性：$X(j\omega)$ 作为一个整体，既不是偶函数（因为实部奇）也不是奇函数（因为虚部偶）。所以 $x(t)$ 既不偶也不奇。
结论 (c)：
(i) 纯虚信号；
(ii) 既不是偶函数也不是奇函数。
(d) $X(j\omega) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (\frac{1}{2})^{|k|} \delta(\omega - \frac{k\pi}{4})$
分析 $X(j\omega)$：
- 这是一个冲激串之和。
- 实虚性： 系数 $(\frac{1}{2})^{|k|}$ 都是实数，$\delta$ 函数也是实的，所以 $X(j\omega)$ 是纯实函数。
- 奇偶性：
- 幅度系数 $(\frac{1}{2})^{|k|}$ 关于 $k=0$ 对称（因为 $|k|$ 是偶函数）。
- 位置 $\delta(\omega - \frac{k\pi}{4})$ 当 $k$ 取正负对称值时，位置关于原点对称。
- 例如：$k=1$ 时在 $\pi/4$，幅度 $1/2$；$k=-1$ 时在 $-\pi/4$，幅度 $1/2$。
- 因此，$X(j\omega) = X(-j\omega)$，即 $X(j\omega)$ 是偶函数。
综上，$X(j\omega)$ 是**实偶函数 (Real & Even)**。
推导 $x(t)$：
根据性质：$X(j\omega)$ 是实偶 $\iff x(t)$ 是实偶。结论 (d)：
(i) 实信号；
(ii) 偶函数。
对于一个实值信号（Real-valued Signal） $x(t)$：
| 时域分量 | 频域对应部分 | 性质 |
|---|---|---|
| 偶部 $x_e(t)$ | 实部 $\mathcal{Re}{X(j\omega)}$ | 也是关于 $\omega$ 的偶函数 |
| 奇部 $x_o(t)$ | 虚部 $j\mathcal{Im}{X(j\omega)}$ | 也是关于 $\omega$ 的奇函数 |
简单来说： 实偶对应实偶，实奇对应纯虚奇。
数学推导（理解“为什么”）
我们要证明：$\mathcal{F}{x_e(t)} = \mathcal{Re}{X(j\omega)}$。
步骤一：信号分解
任何实信号 $x(t)$ 都可以分解为偶部和奇部之和：
$$x(t) = x_e(t) + x_o(t)$$
步骤二：代入傅里叶变换定义
$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} [x_e(t) + x_o(t)] e^{-j\omega t} dt$$
步骤三：利用欧拉公式展开
根据欧拉公式 $e^{-j\omega t} = \cos(\omega t) - j\sin(\omega t)$，将其代入积分中展开：
$$X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} [x_e(t) + x_o(t)] [\cos(\omega t) - j\sin(\omega t)] dt$$
我们将这个乘积展开成四项积分：
- $\int x_e(t) \cos(\omega t) dt$
- $-j \int x_e(t) \sin(\omega t) dt$
- $\int x_o(t) \cos(\omega t) dt$
- $-j \int x_o(t) \sin(\omega t) dt$
步骤四：利用奇偶函数的积分性质（消去项）
在对称区间 $(-\infty, \infty)$ 上积分时：
- 奇函数的积分等于 0。
- 偶函数的积分不为 0（是半区间积分的 2 倍）。
让我们分析上面四项的奇偶性（注意 $t$ 是变量）：
- **$x_e(t) \cos(\omega t)$**：偶 $\times$ 偶 = 偶函数。 $\to$ 保留
- **$x_e(t) \sin(\omega t)$**：偶 $\times$ 奇 = 奇函数。 $\to$ 积分为 0
- **$x_o(t) \cos(\omega t)$**：奇 $\times$ 偶 = 奇函数。 $\to$ 积分为 0
- **$x_o(t) \sin(\omega t)$**：奇 $\times$ 奇 = 偶函数。 $\to$ 保留
步骤五：整理结果
剩下的只有第 1 项和第 4 项：
$$
X(j\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x_e(t) \cos(\omega t) dt - j \int_{-\infty}^{\infty} x_o(t) \sin(\omega t) dt
$$
其中：
- 第一项是实数（对应 $x_e(t)$ 的变换）
- 第二项是实数（对应 $x_o(t)$ 的变换）
观察上式：
- 实部 $\mathcal{Re}{X(j\omega)}$ 正好等于 $\int_{-\infty}^{\infty} x_e(t) \cos(\omega t) dt$。这就是 $x_e(t)$ 的傅里叶变换（因为 $x_e(t)$ 乘以 $e^{-j\omega t}$ 积分时，虚部 $\sin$ 项也会因为奇偶性消失，只剩下 $\cos$ 项）。
- 虚部 $j\mathcal{Im}{X(j\omega)}$ 对应剩下那一项，即 $x_o(t)$ 的变换。
结论：
$$x_e(t) \stackrel{\mathcal{F}}{\longleftrightarrow} \mathcal{Re}{X(j\omega)}$$
这个性质有什么用？
题目给了这样一个积分：
$$\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \mathcal{Re}{X(j\omega)} e^{j\omega t} d\omega$$
如果不利用这个性质，你可能会试图去把 $\mathcal{Re}{X(j\omega)}$ 算出来或者强行积分，非常困难。
但如果利用这个性质，你一眼就能看出：
“哦，这就是对频谱的实部做反变换。既然实部对应偶部，那么这个积分的结果直接就是 **$x_e(t)$**。”
这样就直接建立了 $x_e(t)$ 和题目给出的 $|t|e^{-|t|}$ 之间的等号关系。