Signals and Systems

信号与系统知识点梳理:)

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1. Introduction

1.1 连续时间信号与离散信号 (Continuous-Time Signals and Discrete-Time Signals)

信号 (Signal)

• 定义：信号是携带信息的函数 (a function that carries information)。

• 数学表示：一般用函数 $x(t)$ 或 $x[n]$ 来表示，其中：

  • $t$ 表示连续的自变量 (independent variable)，通常是时间 (time)。
  • $n$ 表示离散的自变量，通常是整数序列 (integer sequence)。

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1.1.1 连续时间信号 (Continuous-Time Signal)

• 定义：当信号的自变量 $t$ 在整个实数集合 (real number set) 上都定义时，称为连续时间信号。

• 记号：$x(t)$，其中 $t \in \mathbb{R}$。

• 例子：

  1. 正弦信号 (Sine signal)：$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$
  2. 指数信号 (Exponential signal)：$x(t) = e^{at}$
  3. 音频信号 (Audio signal)：麦克风采集的语音就是连续时间信号。

特点：

• 值的变化是连续的 (continuous values)。
• 自变量是连续的 (continuous independent variable)。

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1.1.2. 离散时间信号 (Discrete-Time Signal)

• 定义：当信号的自变量只在整数 (integer) 点上定义时，称为离散时间信号。

• 记号：$x[n]$，其中 $n \in \mathbb{Z}$。

• 例子：

  1. 采样信号 (Sampled signal)：将连续语音信号在时间间隔 $T$ 下采样 (sampling)，得到 $x[n] = x(nT)$。
  2. 数字图像 (Digital image)：由像素点组成，本质上是二维离散信号 (2D discrete signal)。

特点：

• 值可以是连续的 (例如浮点数)，也可以是量化后的离散值 (quantized values)。
• 自变量是离散的 (discrete independent variable)。

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1.1.3. 连续时间与离散时间的关系 (Relation Between Continuous-Time and Discrete-Time Signals)

• 采样 (Sampling)：将连续时间信号 $x(t)$ 按照采样周期 $T$ 取样，得到 $x[n] = x(nT)$。
• 恢复 (Reconstruction)：在满足采样定理 (Sampling Theorem) 的条件下，可以通过插值 (interpolation) 从 $x[n]$ 恢复 $x(t)$。

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1.1.4. 图形对比 (Graphical Comparison)

• 连续时间信号：在二维平面上是一条连续曲线 (smooth curve)。
• 离散时间信号：在二维平面上是一系列离散点 (sequence of points)。

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1.2. 三大自变量变换 (Three Basic Independent Variable Transformations)

在信号与系统中，我们经常会对信号的 自变量 (independent variable) 进行变换。这些变换不会改变信号本身的“形状”，但会影响它在时间 (time) 或序列 (index) 上的表现。

主要有三大类：

1. 时移 (Time Shifting)
2. 时反 (Time Reversal)
3. 时缩放 (Time Scaling)

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1.2.1 时移 (Time Shifting)

• 定义：将信号整体沿时间轴平移 (shift along the time axis)。
• 连续时间：$x(t) \to x(t - t_0)$
• 离散时间：$x[n] \to x[n - n_0]$

解释：

• 如果 $t_0 > 0$，信号向右平移 (delay，延迟)。
• 如果 $t_0 < 0$，信号向左平移 (advance，提前)。

例子：

• 原信号：$x(t) = u(t)$ (单位阶跃信号 unit step signal)。
• 时移：$x(t-2) = u(t-2)$，信号从 $t=2$ 开始才为 1。

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1.2.2. 时反 (Time Reversal / Time Folding)

• 定义：将信号在时间轴上进行翻转 (flip around time axis)。
• 连续时间：$x(t) \to x(-t)$
• 离散时间：$x[n] \to x[-n]$

解释：

• 把信号在 $t=0$ 作为对称轴进行镜像 (mirror reflection)。

例子：

• 原信号：$x(t) = e^{-t}u(t)$。
• 时反：$x(-t) = e^{t}u(-t)$，即原本定义在 $t>0$ 的信号，现在翻转到 $t<0$。

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1.2.3. 时缩放 (Time Scaling)

• 定义：对时间进行“拉伸或压缩” (stretching or compressing in time)。
• 连续时间：$x(t) \to x(at)$，其中 $a \neq 0$。
• 离散时间：$x[n] \to x[kn]$，其中 $k$ 为整数。

解释：

• 如果 $|a| > 1$，信号被压缩 (compression)，信号变化得更快。
• 如果 $0 < |a| < 1$，信号被拉伸 (expansion)，信号变化得更慢。
• 如果 $a < 0$，还会伴随时反 (time reversal)。

例子：

• 原信号：$x(t) = \sin(t)$
• 缩放：$x(2t) = \sin(2t)$，频率变为原来的 2 倍，周期减半。

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1.2.4. 三大变换的组合 (Combination of Transformations)

• 实际应用中，常常会同时出现多个变换，例如：
  $x(2t - 4)$

  • 先缩放 (scaling by 2)，信号压缩一半；
  • 再时移 (shift by +4/2 = 2)，信号延迟 2 个单位。

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1.3 周期信号 (Periodic Signals)

• 如果一个信号 (signal) 在时间轴上不断重复出现某个基本波形 (basic waveform)，那么这个信号称为周期信号 (periodic signal)。

• 数学表达式：

  • 连续时间信号 (Continuous-Time Signal)：

    $$
    x(t) = x(t + T), \quad \forall t \in \mathbb{R}
    $$

    其中 $T > 0$ 称为周期 (period)。

  • 离散时间信号 (Discrete-Time Signal)：

    $$
    x[n] = x[n + N], \quad \forall n \in \mathbb{Z}
    $$

    其中 $N$ 是最小的正整数，称为基周期 (fundamental period)。

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• 周期 (Period, $T$ or $N$)：信号重复的最小时间间隔 (smallest repeating interval)。

• 基频 (Fundamental frequency, $f_0$)：
  对于连续时间信号：

  $$
  f_0 = \frac{1}{T} \quad (\text{Hz})
  $$

  对应的角频率 (angular frequency, $\omega_0$)：

  $$
  \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \quad (\text{rad/s})
  $$

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1.3.1 连续时间周期信号 (Continuous-Time Periodic Signals)

例子：

1. 正弦信号 (Sine signal)：

   $$
   x(t) = \sin(\omega_0 t + \varphi), \quad T = \frac{2\pi}{\omega_0}
   $$

2. 余弦信号 (Cosine signal)：

   $$
   x(t) = \cos(\omega_0 t)
   $$

👉 注意：两个连续时间信号相加，若其频率比是有理数 (rational number)，则结果是周期信号；若是无理数 (irrational number)，结果是非周期信号 (aperiodic signal)。

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1.3.2. 离散时间周期信号 (Discrete-Time Periodic Signals)

例子：

1. $x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)$

   • 要求基周期 (fundamental period $N$)，需要找到最小正整数 $N$，使得：

     $$
     \cos\left(\frac{\pi}{4}(n+N)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)
     $$

   • 解得 $N = 8$。

👉 注意：离散时间正弦信号是否周期性，取决于频率是否为 $2\pi$ 的有理数倍 (rational multiple of $2\pi$)。

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1.3.3. 非周期信号 (Aperiodic Signals)

• 如果信号不能在有限的时间间隔后重复自己，则称为非周期信号 (aperiodic signal)。
• 例如：$x(t) = e^{-t}u(t)$，衰减指数信号，不会重复，因此是非周期的。

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1.3.4. 多个正弦叠加的周期性判断

判断下列离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求其基周期 (fundamental period)：

$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$

---

✅ 解题步骤

第 1 步：分解信号

该信号由两个离散时间正弦信号组成：

1. $x_1[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right)$
2. $x_2[n] = \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)$

我们需要分别求出它们的周期。

第 2 步：判断第一个信号 $x_1[n]$ 的周期

• 形式：$x_1[n] = \cos(\omega_0 n)$

• 条件：周期成立需 $\omega_0 N = 2\pi k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。

• 代入 $\omega_0 = \frac{\pi}{2}$：

  $$
  \frac{\pi}{2}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 4k
  $$

• 最小正整数解：$N_1 = 4$。

👉 $x_1[n]$ 的基周期为 $N_1 = 4$。

第 3 步：判断第二个信号 $x_2[n]$ 的周期

• 形式：$x_2[n] = \sin(\omega_0 n)$

• 条件同样是 $\omega _0 N = 2\pi k$。

• 代入 $\omega_0 = \frac{2\pi}{3}$：

  $$
  \frac{2\pi}{3}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 3k
  $$

• 最小正整数解：$N_2 = 3$。

👉 $x_2[n]$ 的基周期为 $N_2 = 3$。

---

第 4 步：求叠加信号的周期

• 叠加信号 $x[n] = x_1[n] + x_2[n]$ 的周期 = 两个基周期 $N_1$ 和 $N_2$ 的最小公倍数 (least common multiple, LCM)。

• 已知 $N_1 = 4$，$N_2 = 3$。

• 最小公倍数：

  $$
  N = \text{LCM}(4, 3) = 12
  $$

🎯 最终答案

信号

$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$

是一个 周期信号 (periodic signal)，其基周期为

$$
N = 12
$$

---

1.4 偶信号与奇信号 (Even and Odd Signals)

• 偶信号 (Even Signal)
  若一个信号满足对称关系：

  $$
  x(t) = x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = x[-n]
  $$

  则称为 偶信号 (even signal)
  👉 它关于纵轴 (vertical axis) 对称 (symmetric)。

• 奇信号 (Odd Signal)
  若一个信号满足反对称关系：

  $$
  x(t) = -x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = -x[-n]
  $$

  则称为 奇信号 (odd signal)。
  👉 它关于原点 (origin) 对称 (anti-symmetric)。

---

常见例子 (Examples)

• 偶信号 (Even Signals)：

  • 余弦信号 (cosine signal)：$x(t) = \cos(t)$
  • 指数对称信号 (symmetric exponential)：$x(t) = e^{-|t|}$

• 奇信号 (Odd Signals)：

  • 正弦信号 (sine signal)：$x(t) = \sin(t)$
  • 斜坡信号 (ramp signal)：$x(t) = t$

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1.4.1. 一般信号的分解 (Decomposition of a General Signal)

任何信号 (any signal) 都可以分解为 偶信号部分 (even part) 和 奇信号部分 (odd part)：

$$
x(t) = x_e(t) + x_o(t)
$$

其中：

• 偶信号部分：

  $$
  x_e(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) + x(-t)\big]
  $$

• 奇信号部分：

  $$
  x_o(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) - x(-t)\big]
  $$

👉 对离散时间信号同理：

$$
x[n] = x_e[n] + x_o[n]
$$

性质 (Properties)

1. 偶 × 偶 = 偶

2. 奇 × 奇 = 偶

3. 偶 × 奇 = 奇

4. 偶信号与奇信号正交 (orthogonal)：

   $$
   \int_{-\infty}^{\infty} x_e(t) , x_o(t) , dt = 0
   $$

---

1.4.2 奇偶信号分解例题

我们把 $x(t)=e^{t}$ 分解为偶/奇两部分。

公式 (Decomposition formulas)

$$
x_e(t)=\tfrac12\big[x(t)+x(-t)\big],\qquad
x_o(t)=\tfrac12\big[x(t)-x(-t)\big].
$$

套用到 $x(t)=e^t$

• 计算 $x(-t)=e^{-t}$

• 偶部分 (even part):

  $$
  x_e(t)=\tfrac12\big(e^t+e^{-t}\big)=\cosh t \quad \text{(hyperbolic cosine)}
  $$

• 奇部分 (odd part):

  $$
  x_o(t)=\tfrac12\big(e^t-e^{-t}\big)=\sinh t \quad \text{(hyperbolic sine)}
  $$

验证 (Check)

• $x_e(-t)=\cosh(-t)=\cosh t=x_e(t)$ → 偶 (even)
• $x_o(-t)=\sinh(-t)=-\sinh t=-x_o(t)$ → 奇 (odd)
• 相加：$\cosh t+\sinh t=e^t=x(t)$

答案：

$$
\boxed{x_e(t)=\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}},\qquad
\boxed{x_o(t)=\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}
$$

---

1.5 指数信号 (Exponential Signals)

指数信号指的是信号中含有 指数函数 (exponential function) 的形式。它既可以是 连续时间 (continuous-time)，也可以是 离散时间 (discrete-time)。

• 连续时间指数信号 (Continuous-Time Exponential Signal)：

$$
x(t) = A e^{st}, \quad s \in \mathbb{C}
$$

• 离散时间指数信号 (Discrete-Time Exponential Signal)：

$$
x[n] = A \alpha^n, \quad \alpha \in \mathbb{C}
$$

其中：

• $A$：幅度 (amplitude)
• $s = \sigma + j\omega$：复数形式 (complex form)，包含衰减率 (decay rate) $\sigma$ 和角频率 (angular frequency) $\omega$
• $\alpha$：离散指数基底 (exponential base)

---

1.5.1. 连续时间指数信号的分类 (Continuous-Time Cases)

• 实指数 (Real Exponential)：
  $x(t) = e^{\sigma t}$

  • 当 $\sigma > 0$：信号随时间增长 (growing exponential)
  • 当 $\sigma < 0$：信号随时间衰减 (decaying exponential)
  • 当 $\sigma = 0$：信号为常数 (constant signal)

• 复指数 (Complex Exponential)：

  $$
  x(t) = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t} \cdot e^{j\omega t}
  $$

  根据 欧拉公式 (Euler’s formula)：

  $$
  e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)
  $$

  所以复指数本质上是 衰减/增长因子 (exponential envelope) 与 正弦信号 (sinusoidal signal) 的组合。

---

1.5.2. 离散时间指数信号的分类 (Discrete-Time Cases)

• 实指数 (Real Exponential)：

  $$
  x[n] = \alpha^n
  $$

  • 如果 $|\alpha| < 1$，则信号随 $n$ 衰减 (decaying)
  • 如果 $|\alpha| > 1$，则信号随 $n$ 增长 (growing)
  • 如果 $|\alpha| = 1$，则信号振荡 (oscillatory)

• 复指数 (Complex Exponential)：

  $$
  x[n] = (re^{j\theta})^n = r^n e^{j\theta n}
  $$

  • 其中 $r^n$：决定幅度 (magnitude) 的增长/衰减
  • $e^{j\theta n}$：决定相位 (phase) 和周期性 (periodicity)

👉 特别地：当 $|\alpha|=1$ 且 $\alpha = e^{j\omega_0}$，离散信号就退化为纯粹的正弦信号。

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1.5.3. 性质 (Properties)

1. 指数信号是许多系统的特征信号 (eigenfunction)。

   • 线性时不变系统 (LTI system) 对指数输入，输出仍是指数形式。
   • 这就是为什么傅里叶变换 (Fourier transform) 和拉普拉斯变换 (Laplace transform) 都以指数函数为核心。

2. 稳定性 (stability)

   • 连续时间：如果指数部分衰减 ($\sigma < 0$)，信号有界；否则可能发散。
   • 离散时间：如果 $|\alpha| < 1$，信号趋于 0；否则可能发散。

图形直观理解 (Intuition with Plots)

• $e^{-t}$：连续时间，随时间指数衰减。
• $(0.5)^n$：离散时间，随着 $n$ 增大而衰减。
• $e^{j\omega t}$：连续时间复指数，其实就是一个旋转的单位向量（对应正弦/余弦）。

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1.6 正弦信号 (Sinusoidal Signals)

• 连续时间正弦信号 (Continuous-time sinusoidal signal)

$$
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi)
$$

• 离散时间正弦信号 (Discrete-time sinusoidal signal)

$$
x[n] = A \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$

其中：

• $A$：幅度 (amplitude) → 信号的最大值
• $\omega_0$：角频率 (angular frequency)，单位为 rad/s（连续时间）或 rad/sample（离散时间）
• $\varphi$：初始相位 (initial phase)
• $t$ 或 $n$：自变量 (independent variable)

---

1.6.1. 连续时间正弦信号 (Continuous-time Case)

• 周期 (period)

$$
T = \frac{2\pi}{\omega_0}
$$

• 频率 (frequency)

$$
f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi} \quad \text{单位 Hz}
$$

👉 任何连续时间正弦信号都是 严格周期信号 (strictly periodic signal)。

---

1.6.2. 离散时间正弦信号 (Discrete-time Case)

离散正弦有一个特殊情况：不是所有离散正弦都是周期信号！

• 周期条件：存在最小正整数 $N$，使得

$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

• 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number) → 信号周期。
• 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 无理数 (irrational number) → 信号非周期。

👉 基周期：

$$
N = \frac{2\pi k}{\omega_0}, \quad 取最小正整数解
$$

---

1.6.3. 与复指数的关系 (Relation with Complex Exponential)

利用 欧拉公式 (Euler’s formula)：

$$
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta
$$

我们可以写出：

$$
\cos(\omega_0 t + \varphi) = \frac{1}{2}\Big( e^{j(\omega_0 t + \varphi)} + e^{-j(\omega_0 t + \varphi)} \Big)
$$

👉 所以正弦信号其实是 两个复指数信号的叠加，这也是傅里叶分析的核心。

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1.6.4. 图形特性 (Characteristics in Graphs)

• 幅度 (Amplitude) → 控制“高度”
• 周期 (Period) → 控制“宽度”
• 相位 (Phase) → 控制“水平平移”
• 频率 (Frequency) → 控制“快慢”

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1.6.5 例题1

判断以下离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求出基周期 (fundamental period)：

$$
x[n] = \cos!\left(\frac{\pi}{5}n\right)
$$

✅ 解答步骤

周期条件 (Periodicity condition)

离散正弦信号的一般形式：

$$
x[n] = \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$

若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number)，则该信号是周期信号。基周期 $N$ 满足：

$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$

确定角频率 (Angular frequency)

已知：

$$
\omega_0 = \frac{\pi}{5}
$$

套用周期条件

$$
\frac{\pi}{5} N = 2\pi k
$$

两边约去 $\pi$：

$$
\frac{1}{5}N = 2k
$$

$$
N = 10k
$$

最小正整数解

当 $k=1$，有：

$$
N = 10
$$

结论

• $\dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{10}$，是有理数 ✅
• 所以信号是 周期信号 (periodic signal)，基周期为：

$$
N = 10
$$

🎯 最终答案

$$
x[n] = \cos!\left(\tfrac{\pi}{5}n\right) \quad \text{是周期信号，基周期 } N=10
$$

1.6.6 例题2

例子

$$
x[n]=\cos!\big(\pi\sqrt{2},n\big)
$$

离散正弦

$$
x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)
$$

是周期的充要条件：$\dfrac{\omega_0}{2\pi}\in\mathbb{Q}$（有理数 rational）。

• 若存在最小正整数 $N$ 使
  $\omega_0 N=2\pi k$（$k\in\mathbb{Z}$），则周期为 $N$。
• 这等价于 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{k}{N}\in\mathbb{Q}$。

应用于本例

$$
\omega_0=\pi\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数 (irrational)，$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 亦为无理数，因此 不存在 满足条件的整数 $N,k$。

结论：$x[n]=\cos(\pi\sqrt{2},n)$ 是非周期信号 (aperiodic signal)。

更多非周期例子

• $x[n]=\cos(2\pi e,n)$（$e$ 为自然常数，$\dfrac{\omega_0}{2\pi}=e\notin\mathbb{Q}$）
• $x[n]=\cos(2\pi\alpha n)$ 只要 $\alpha\notin\mathbb{Q}$ 即为非周期。

快速判定小抄 (quick checklist)

1. 写成 $x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)$。
2. 计算 $\omega_0/(2\pi)$。
3. 若为有理数 → 周期；若为无理数 → 非周期。