Ordinary Differential Equation
Ordinary Differential Equation
常微分方程特性总结
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1. 初等解法
本章主要介绍常微分方程的初等解法
1.1 直接积分型
如果一阶微分方程可以直接写成下面的形式：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)
$$
也就是说，右边只含有 $x$（不含 $y$），那么它就是直接积分型。
解法步骤
将方程写成：
$$
dy = f(x) , dx
$$两边同时积分：
$$
\int dy = \int f(x) , dx
$$得到：
$$
y = \int f(x) , dx + C
$$其中 $C$ 是任意常数。
例题 1
求解：
$$
\frac{dy}{dx} = 3x^2
$$
解：
写成积分形式：
$$
dy = 3x^2 , dx
$$积分：
$$
\int dy = \int 3x^2 , dx
$$结果：
$$
y = x^3 + C
$$
例题 2
求解：
$$
\frac{dy}{dx} = e^{2x}
$$
解：
积分：
$$
y = \int e^{2x} , dx = \frac{1}{2} e^{2x} + C
$$
特点总结
右边只含 $x$（或是常数） → 直接积分。
不需要分离变量，也不需要复杂变形。
是所有一阶微分方程里最简单的一类。
解的形式一定是：
$$
y = F(x) + C
$$
1.2 直接分离变量型
直接分离变量型微分方程是指，方程可以写成以下形式：
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
或等价地：
$$
M(y),dy = N(x),dx
$$
即变量 $x$ 与 $y$ 可以完全分离在等式的两边。
解法步骤：
将方程变形为分离形式：
$$
\frac{1}{g(y)} , dy = f(x) , dx
$$两边积分：
$$
\int \frac{1}{g(y)} , dy = \int f(x) , dx
$$计算积分结果：
$$
G(y) = F(x) + C
$$其中 $C$ 是任意常数。
（可选）解出 $y$ 关于 $x$ 的显函数，如果积分结果可以反解的话。
例题
求解：
$$
\frac{dy}{dx} = x y^2
$$
解：
分离变量：
$$
\frac{dy}{y^2} = x , dx
$$两边积分：
$$
\int y^{-2} , dy = \int x , dx
$$计算积分：
$$
-y^{-1} = \frac{x^2}{2} + C
$$解出 $y$：
$$
y = -\frac{1}{\frac{x^2}{2} + C}
$$
特殊注意点⚠️
- 若 $g(y) = 0$ 在某些 $y$ 处恒成立，这些 $y$ 值就是平衡解（常值解），要单独考虑。
- 分离变量法要求方程在某一区域内 $f(x)$ 和 $g(y)$ 可积。
- 积分常数 $C$ 不能漏写，且要记住它在代数变形时可以合并。
1.3 全微分方程
一个一阶微分方程
$$
M(x, y) , dx + N(x, y) , dy = 0
$$
如果存在一个二元函数 $\varphi(x, y)$，使得
$$
d\varphi = M(x, y) , dx + N(x, y) , dy
$$
那么这个方程称为全微分方程（Exact Differential Equation）。
换句话说，$M$ 和 $N$ 分别是 $\varphi$ 对 $x$ 和 $y$ 的偏导：
$$
M = \frac{\partial \varphi}{\partial x}, \quad N = \frac{\partial \varphi}{\partial y}
$$
判别条件
若 $M$、$N$ 具有连续的一阶偏导，则该方程是全微分方程的充要条件是：
$$
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
$$
记忆技巧：
“$M$ 对 $y$ 偏导等于 $N$ 对 $x$ 偏导” → 就是全微分方程。
解法步骤
检查全微分条件
计算 $\frac{\partial M}{\partial y}$ 和 $\frac{\partial N}{\partial x}$，如果相等，就可以继续求解。积分求势函数 $\varphi(x, y)$
先对 $M(x, y)$ 关于 $x$ 积分：
$$
\varphi(x, y) = \int M(x, y) , dx + h(y)
$$这里 $h(y)$ 是积分“常数”，但它可能依赖于 $y$。
利用 $N(x, y)$ 确定 $h(y)$
对上式求 $\frac{\partial \varphi}{\partial y}$，令其等于 $N(x, y)$，解出 $h(y)$。写出通解
$$
\varphi(x, y) = C
$$
例题
求解：
$$
(2xy + 3) , dx + (x^2 + 4y) , dy = 0
$$
解：
检查全微分条件：
$$
M = 2xy + 3, \quad N = x^2 + 4y
$$$$
\frac{\partial M}{\partial y} = 2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2x
$$条件成立 → 是全微分方程。
积分 $M$ 关于 $x$：
$$
\varphi(x, y) = \int (2xy + 3) , dx = x^2 y + 3x + h(y)
$$利用 $N$ 确定 $h(y)$：
$$
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = x^2 + h’(y)
$$与 $N = x^2 + 4y$ 比较，得到：
$$
h’(y) = 4y \quad \Rightarrow \quad h(y) = 2y^2
$$得到势函数：
$$
\varphi(x, y) = x^2 y + 3x + 2y^2
$$通解：
$$
\boxed{x^2 y + 3x + 2y^2 = C}
$$
特殊情况
如果全微分条件不满足，可以尝试乘以一个 积分因子 $\mu(x, y)$，使得：
$$
\mu M , dx + \mu N , dy
$$
变成全微分方程。
积分因子可能是 $\mu(x)$、$\mu(y)$ 或 $\mu(x, y)$。
1.4 特殊全微分方程
形如：
$$
M(x, y), dx + N(x, y), dy = 0
$$
如果
$$
\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}
$$
那么它不是全微分方程，但是可以通过引入一个积分因子 $\mu$，使得：
$$
\mu M(x, y), dx + \mu N(x, y), dy = 0
$$
满足全微分条件，从而化为全微分方程。
全微分条件回顾
如果存在 $\mu(x, y)$，要求：
$$
\frac{\partial (\mu M)}{\partial y} = \frac{\partial (\mu N)}{\partial x}
$$
展开：
$$
\mu_y M + \mu M_y = \mu_x N + \mu N_x
$$
这就是积分因子的判定方程。
常见的积分因子类型
在考试或做题时，最常用的是下面三种情况：
(1) 积分因子 $\mu(x)$ 只依赖于 $x$
全微分条件化为：
$$
\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = f(x)
$$
如果结果只含 $x$，那么积分因子为：
$$
\mu(x) = e^{\int f(x) , dx}
$$
(2) 积分因子 $\mu(y)$ 只依赖于 $y$
全微分条件化为：
$$
\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = g(y)
$$
如果结果只含 $y$，那么积分因子为：
$$
\mu(y) = e^{\int g(y) , dy}
$$
(3) 积分因子为 $x^m y^n$
如果 $M$、$N$ 具有齐次特征，可以假设：
$$
\mu(x, y) = x^m y^n
$$
然后代入全微分条件求 $m, n$。
解题步骤
检查 $\partial M / \partial y \overset{?}{=} \partial N / \partial x$
- 如果相等 → 是全微分方程，直接解
- 如果不相等 → 进入步骤 2
猜测积分因子形式
- 优先尝试 $\mu(x)$ 或 $\mu(y)$
- 如果不行再试 $\mu(x^m y^n)$ 或其它形式
计算积分因子 $\mu$
将原方程乘以 $\mu$，变成全微分方程
按全微分方程的步骤求解：
- 对 $M$ 关于 $x$ 积分
- 用 $N$ 确定“积分常数函数”
- 写出通解 $\varphi(x, y) = C$
例题（特殊全微分方程）
求微分方程的通解：
$$
(2xy + y),dx + x^2,dy = 0.
$$
（注意：这里隐含 $x\neq0$，因为稍后会出现 $1/x$ 的项。）
1️⃣检查是否精确
设
$$
M(x,y)=2xy+y,\qquad N(x,y)=x^2.
$$
计算偏导：
$$
M_y=2x+1,\qquad N_x=2x.
$$
显然 $M_y\neq N_x$，所以方程不是精确的。
2️⃣尝试仅关于 $x$ 的积分因子 $\mu(x)$
检验公式
$$
\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{(2x+1)-2x}{x^2}=\frac{1}{x^2}.
$$
右边只含 $x$，因此存在积分因子 $\mu(x)$，且
$$
\mu(x)=\exp!\Big(\int \frac{1}{x^2},dx\Big)=\exp!\Big(-\frac{1}{x}\Big)=e^{-1/x}.
$$
3️⃣用积分因子把方程变为精确方程
两边同乘以 $\mu(x)=e^{-1/x}$：
$$
e^{-1/x}(2xy+y),dx + e^{-1/x}x^2,dy = 0.
$$
记新的系数为
$$
\widetilde M(x,y)=e^{-1/x}(2xy+y),\qquad \widetilde N(x,y)=e^{-1/x}x^2.
$$
（可检验 $\partial_y\widetilde M=\partial_x\widetilde N= e^{-1/x}(2x+1)$，确为精确。）
4️⃣求势函数 $\varphi(x,y)$
找 $\varphi$ 满足 $\varphi_x=\widetilde M$，对 $x$ 积分（把 $y$ 看作常数）：
$$
\varphi(x,y)=\int e^{-1/x}y(2x+1),dx + h(y)
= y\int (2x+1)e^{-1/x},dx + h(y).
$$
观察到
$$
\frac{d}{dx}\big(x^2 e^{-1/x}\big) = e^{-1/x}(2x+1),
$$
所以
$$
\varphi(x,y)=y\cdot x^2 e^{-1/x} + h(y).
$$
对上式关于 $y$ 求偏导并令其等于 $\widetilde N$：
$$
\varphi_y = x^2 e^{-1/x} + h’(y) \stackrel{!}{=} \widetilde N = x^2 e^{-1/x}.
$$
于是 $h’(y)=0$，即 $h$ 为常数。
通解（隐式形式）
势函数为 $\varphi(x,y)=x^2 y e^{-1/x}$，因此通解为
$$
\boxed{,x^2 y e^{-1/x}=C,}
$$
其中 $C$ 为任意常数（且通常假定 $x\neq0$ 以保证表达式定义良好）。
2. 一阶线性微分方程
2.1 一阶线性齐次ODE
一阶线性齐次常微分方程的标准形式为：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0
$$
这里：
- $y = y(x)$ 是未知函数；
- $P(x)$ 是已知的连续函数；
- 齐次表示右边等于 $0$（如果右边是非零函数，就叫非齐次）。
我们可以用 分离变量法 或 积分因子法 来求解。
因为它是齐次的，所以分离变量法特别简单。
1：分离变量法
原方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0
$$移项：
$$
\frac{dy}{dx} = -P(x) y
$$分离变量：
$$
\frac{1}{y} , dy = -P(x) , dx
$$两边积分：
$$
\ln|y| = -\int P(x) , dx + C
$$两边取指数：
$$
y = C_1 , e^{-\int P(x) , dx}
$$其中 $C_1 = \pm e^C$ 是常数。
方法 2：积分因子法（通解）
虽然齐次情况下不一定需要，但它是非齐次情况的基础，所以也可以用。
原方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0
$$积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x) dx}
$$两边乘以 $\mu(x)$：
$$
e^{\int P(x) dx} \frac{dy}{dx} + P(x) e^{\int P(x) dx} y = 0
$$左边就是一个积的导数：
$$
\frac{d}{dx} \left[ e^{\int P(x) dx} y \right] = 0
$$积分：
$$
e^{\int P(x) dx} y = C
$$解得：
$$
y = C e^{-\int P(x) dx}
$$
和分离变量法结果一致。
例题
解：
$$
\frac{dy}{dx} + 2y = 0
$$
解法（分离变量）：
移项：
$$
\frac{dy}{dx} = -2y
$$分离变量：
$$
\frac{1}{y} , dy = -2 , dx
$$积分：
$$
\ln|y| = -2x + C
$$取指数：
$$
y = C_1 e^{-2x}
$$
特点总结
解总是形如：
$$
y = C e^{-\int P(x) dx}
$$指数因子 $e^{-\int P(x) dx}$ 控制衰减或增长。
因为是齐次方程，解中只有一个常数 $C$。
如果 $P(x) > 0$，解会随 $x$ 增大而衰减；如果 $P(x) < 0$，则会增长。
2.2 一阶线性非齐次常微分方程（ODE）
一阶线性非齐次常微分方程的标准形式是：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)
$$
这里：
- $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是已知的连续函数；
- $Q(x) \neq 0$ 表示它是非齐次，如果 $Q(x)=0$ 就变成了齐次方程。
非齐次的求解方法通常用 积分因子法，它的核心思路是把左边变成一个积的导数。
方法：积分因子法
步骤：
原方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)
$$计算积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int P(x) , dx}
$$两边乘以 $\mu(x)$：
$$
e^{\int P(x) dx} \frac{dy}{dx} + P(x) e^{\int P(x) dx} y = Q(x) e^{\int P(x) dx}
$$注意左边是一个积的导数：
$$
\frac{d}{dx} \left[ e^{\int P(x) dx} y \right] = Q(x) e^{\int P(x) dx}
$$两边积分：
$$
e^{\int P(x) dx} y = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C
$$解出 $y$：
$$
y = e^{-\int P(x) dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right]
$$
通解结构
非齐次方程的解可以看作：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
$$
齐次解（$y_h$）：
解齐次方程$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = 0
$$得
$$
y_h = C e^{-\int P(x) dx}
$$特解（$y_p$）：
取一个不含 $C$ 的解：$$
y_p = e^{-\int P(x) dx} \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx
$$
这样：
$$
y = C e^{-\int P(x) dx} + e^{-\int P(x) dx} \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx
$$
例题
解：
$$
\frac{dy}{dx} + 2y = e^x
$$
解法：
积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int 2 dx} = e^{2x}
$$乘以 $\mu(x)$：
$$
e^{2x} \frac{dy}{dx} + 2 e^{2x} y = e^{3x}
$$化为积的导数：
$$
\frac{d}{dx} \left[ e^{2x} y \right] = e^{3x}
$$积分：
$$
e^{2x} y = \frac{1}{3} e^{3x} + C
$$解出 $y$：
$$
y = \frac{1}{3} e^{x} + C e^{-2x}
$$
特点总结
公式：
$$
y = e^{-\int P(x) dx} \left[ \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right]
$$通解 = 齐次解 + 特解。
$P(x)$ 影响解的衰减/增长趋势，$Q(x)$ 决定解的长期外部驱动形态。
如果 $Q(x)$ 是常数或指数函数，计算会非常快；如果是更复杂函数，可能需要分部积分或特殊函数。
2.3 初等替换
在求解微分方程时，如果方程的结构比较复杂，直接求解困难，就可以通过引入一个新的变量（或新函数）来把原方程变成一个更简单的方程。
这种“引入新变量并求解”的方法，就叫做 初等替换。
关键思想：
把原来的变量（$x, y$）或它们的某个组合（$y/x$, $x+y$, $e^y$, $\ln x$ 等）换成一个新变量 $u$，
从而让方程的结构更规整，方便分离变量或应用已知公式。
(1) 变量替换
当方程里 $y$ 和 $x$ 以某种组合出现时，可以直接设：
$$
u = y + ax \quad\text{或}\quad u = y - ax \quad\text{或}\quad u = \frac{y}{x} \ \dots
$$
例子 1：
方程：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{x+y}{x}
$$
这里 $x+y$ 经常成对出现，所以设：
$$
u = x+y \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx} = 1 + \frac{dy}{dx}
$$
把 $\frac{dy}{dx}$ 替进去，就能得到一个关于 $u$ 和 $x$ 的简单方程。
(2) 自变量替换
当 $x$ 出现的方式不方便（比如三角函数、指数函数），可以换自变量：
$$
t = \varphi(x)
$$
并利用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}
$$
例子 2：
方程：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\ln x}
$$
设：
$$
t = \ln x \quad\Rightarrow\quad \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}
$$
于是：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{1}{x}
$$
这样变成了 $t$ 的积分问题。
(3) 因变量替换
当 $y$ 的表达式比较复杂，可以令：
$$
u = \varphi(y)
$$
然后用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例子 3（伯努利方程）：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)y^n
$$
令：
$$
u = y^{1-n} \quad\Rightarrow\quad \frac{du}{dx} = (1-n) y^{-n} \frac{dy}{dx}
$$
可以把它化成一阶线性方程。
(4) 对称性替换
如果方程中 $x$ 和 $y$ 对称出现，可以考虑：
$$
u = x+y \quad\text{或}\quad u = x-y
$$
甚至直接交换自变量与因变量：
$$
x \leftrightarrow y
$$
特别适用于曲线对称问题。
(5) 乘积或商的替换
当方程中经常出现 $y/x$ 或 $xy$，可设：
$$
u = \frac{y}{x} \quad\text{或}\quad u = xy
$$
这样能化成齐次方程或可分离变量的形式。
例子 4（齐次方程）：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + xy}{x^2}
$$
出现 $\frac{y}{x}$ 的迹象，设：
$$
u = \frac{y}{x} \quad\Rightarrow\quad y = ux,\ \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}
$$
就能降阶。
初等替换的通用步骤
观察方程结构
找出 $x,y$ 之间反复出现的组合（和、差、积、商、幂、指数、对数等）。设新变量 $u$
让方程里的“复杂组合”变成一个简单的 $u$。用链式法则求导
把 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$ 转换成关于 $u$ 和新自变量的导数。化简方程
目标是得到分离变量、线性方程或其他可解的标准形式。回代求解
解出 $u$ 后，代回原变量求 $y(x)$。
小结
初等替换是灵活性很高的技巧，没有统一的死公式，关键在于识别模式。
最常见的替换模式：
- $u = y/x$（齐次方程）
- $u = y^{1-n}$（伯努利方程）
- $u = x+y$ 或 $u = x-y$（对称问题）
- $t = \ln x$（自变量换对数）
- $u = e^y$（因变量取指数）
2.4 非正规型 ODE
非正规型 ODE在微分方程里通常是指不能直接写成常规显式形式的方程，比如不能直接写成
$$
\frac{dy}{dx} = f(x, y)
$$
这种形式的微分方程。
一个正规型的一阶常微分方程，一般可以直接写成：
$$
y’ = f(x, y)
$$
这种结构简单，变量一目了然。
而非正规型 ODE，就是不能直接这样写的，它的结构可能是：
- 既不能显式表示 $y’$
- 也不能直接分离 $x$ 和 $y$
常见的表现形式：
- $F(x, y, y’) = 0$（$y’$ 是隐含在方程里的）
- $F(x, y, p) = 0$（这里 $p = y’$）
- 甚至没有明确的自变量，形如 $F(y, y’)=0$ 或 $F(x, y’)=0$
(1) 显式形式难以化出 $y’$
例如：
$$
x^2 (y’)^2 + y^2 = 1
$$
这里 $y’$ 是平方形式，不是直接的显式表达式。
处理方法：
设 $p = y’$，转化为关于 $p$ 的代数方程，然后解 $p$，再积分。
(2) Clairaut 型
$$
y = x y’ + f(y’)
$$
- 这里 $y’$ 出现在 $x$ 的系数和 $f$ 函数里
- 是一种非正规型，因为 $y’$ 没法直接孤立成 $y’ = \dots$
解法：
- 设 $p = y’$
- 方程变为 $y = xp + f(p)$
- 对 $x$ 求导：$y’ = p = p + x p’ + f’(p) p’$
- 化简得到 $p’$ 方程，解出 $p$ 的常数解和包络线。
(3) Lagrange 型
$$
y = x f(p) + g(p),\quad p = y’
$$
这是对 Clairaut 型的推广。
解法：
- 依然令 $p = y’$
- 代入并对 $x$ 求导，得到关于 $p$ 的可分离变量方程
- 解出 $p(x)$，再积分求 $y$
非显式变量方程
有时候 $x$ 和 $y$ 地位对称，比如：
$$
F(x, y, y’) = 0
$$
这种情况下，可能需要交换自变量与因变量（$x \leftrightarrow y$），或者引入参数 $t$：
$$
x = x(t), \quad y = y(t)
$$
把一阶方程转成两个关于 $t$ 的方程，最后消去 $t$。
解法的一般思路
对于非正规型的一阶 ODE，常用的套路是：
引入代换：
令 $p = y’$（或其他合适的替换），将 $y’$ 当作独立未知量，把原方程转成关于 $x,y,p$ 的代数方程。消元：
根据方程形式，消去 $y$ 或 $x$，得到 $p$ 与 $x$（或 $y$）的关系。积分还原：
- 如果 $p = p(x)$，直接积分 $y = \int p(x), dx$
- 如果 $p = p(y)$，则 $dy/dx = p(y)$，分离变量积分。
特殊解 + 通解：
某些形式（比如 Clairaut 型）除了通解外，还会有一条包络线作为特殊解。
例题（Clairaut 型）：
$$
y = x y’ + (y’)^2
$$
- 设 $p = y’$，得：
$$
y = x p + p^2
$$
- 对 $x$ 求导：
$$
p = p + x p’ + 2p p’
$$
化简：
$$
(x + 2p) p’ = 0
$$
两种可能：
- $p’ = 0$：$p = C$（常数）
回代 $y = Cx + C^2$（直线族，通解） - $x + 2p = 0$：$p = -x/2$
回代 $y = x(-x/2) + (-x/2)^2 = -x^2/2 + x^2/4 = -x^2/4$（包络线，特解）
- $p’ = 0$：$p = C$（常数）
非正规型 ODE 关键特征：$y’$ 没有直接显式表示成 $f(x,y)$
常用方法：
- 令 $p = y’$
- 分类型（Clairaut 型、Lagrange 型、对称型等）处理
- 有些需要交换自变量与因变量或引入参数
注意：有些非正规型方程的通解和特殊解是分开求的（尤其是包络线问题）
2.5 克莱罗方程
定义
克莱罗方程是以下形式的一阶微分方程：
$$
y = x y’ + f(y’)
$$
其中：
- $y$ 是未知函数
- $y’ = \frac{dy}{dx}$
- $f(y’)$ 是关于 $y’$ 的已知函数
这里的特殊之处是：方程 对 $y$ 和 $y’$ 是线性的，但 $f(y’)$ 是非线性函数。
解法步骤
(1) 一般解
对方程
$$
y = x y’ + f(y’)
$$对 $x$ 两边求导：
$$
y’ = y’ + x y’’ + f’(y’) \cdot y’’
$$化简：
左右同时都有 $y’$，相减得到
$$
0 = (x + f’(y’)) y’’
$$
由乘积等于零，可得两种情况：
情况1：$y’’ = 0$
积分得 $y’ = C$（常数）
代回原方程：
$$
y = Cx + f(C)
$$这就是 一般解。
情况2：$x + f’(y’) = 0$
解出 $y’$：
$$
x = - f’(p) \quad (\text{令 } p = y’)
$$- 将 $p$ 代回 $y = x p + f(p)$ 得到特殊解（见下）。
(2) 特殊解（包络线解）
当 $x + f’(p) = 0$ 时：
解出 $p$（常数）：
$$
p = \varphi(x) \quad\text{(通过 } f’(p) = -x \text{ 得到关系式)}
$$将 $p$ 代回
$$
y = x p + f(p)
$$得到的曲线，就是所有直线 $y = Cx + f(C)$ 的 包络线。
解法总结
一般解：一族直线
$$
y = Cx + f(C)
$$特殊解：这族直线的包络线，由
$$
x + f’(C) = 0
$$与一般解的形式联立得到。
例题
解方程
$$
y = x y’ + (y’)^2
$$
解：
一般解
令 $y’ = C$，代回：$$
y = Cx + C^2
$$特殊解
$f(p) = p^2 \implies f’(p) = 2p$
特殊条件：$$
x + 2p = 0 \implies p = -\frac{x}{2}
$$代回：
$$
y = x\left(-\frac{x}{2}\right) + \left(-\frac{x}{2}\right)^2
= -\frac{x^2}{2} + \frac{x^2}{4} = -\frac{x^2}{4}
$$
最终解：
$$
\boxed{
\begin{cases}
y = Cx + C^2 & \text{(一般解)} \\
y = -\frac{x^2}{4} & \text{(特殊解)}
\end{cases}
}
$$
2.6 拉格朗日方程
拉格朗日方程是一类一阶非线性微分方程，形式为：
$$
y = x f(p) + g(p), \quad p = y’ = \frac{dy}{dx}
$$
其中：
- $f(p), g(p)$ 是关于 $p$ 的已知函数
- 与克莱罗方程 $y = x p + f(p)$ 相比，这里的 $x$ 系数由常数 1 变成了一个函数 $f(p)$
拉格朗日方程的解法思路是换元法，把 $p = y’$ 作为新未知函数来求解。
(1) 换元
原方程：
$$
y = x f(p) + g(p)
$$
对 $x$ 求导：
$$
y’ = f(p) + x f’(p) p’ + g’(p) p’
$$
但 $y’ = p$，所以：
$$
p = f(p) + \big[ x f’(p) + g’(p) \big] p’
$$
(2) 分离 $p’$
移项得到：
$$
p - f(p) = \big[ x f’(p) + g’(p) \big] p’
$$
因此：
$$
\frac{dx}{dp} = \frac{g’(p) + x f’(p)}{p - f(p)}
$$
(3) 解线性方程
这是关于 $x(p)$ 的一阶线性微分方程：
$$
\frac{dx}{dp} - \frac{f’(p)}{p - f(p)} x = \frac{g’(p)}{p - f(p)}
$$
它的积分因子为：
$$
\mu(p) = \exp!\left( -\int \frac{f’(p)}{p - f(p)} , dp \right)
$$
解出 $x(p)$ 后，再用 $y = x f(p) + g(p)$ 表达 $y$。
解法步骤总结
令 $p = y’$，将原方程写成 $y = x f(p) + g(p)$。
求导得到 $p - f(p) = [x f’(p) + g’(p)] p’$。
改写为：
$$
\frac{dx}{dp} - \frac{f’(p)}{p - f(p)} x = \frac{g’(p)}{p - f(p)}
$$用积分因子法解 $x(p)$。
代回 $y = x f(p) + g(p)$，得到参数形式解：
$$
\begin{cases}
x = X(p) \\
y = x f(p) + g(p)
\end{cases}
$$特殊解（包络线）：满足 $\displaystyle p - f(p) = 0$ 的解，对应直线的包络。
例题
解：
$$
y = x (p + 1) + \frac{1}{p}, \quad p = y’
$$
解：
$f(p) = p+1, \quad g(p) = \frac{1}{p}$
方程：$$
\frac{dx}{dp} - \frac{f’(p)}{p - f(p)} x = \frac{g’(p)}{p - f(p)}
$$先算：
$$
f’(p) = 1, \quad p - f(p) = p - (p+1) = -1, \quad g’(p) = -\frac{1}{p^2}
$$代入：
$$
\frac{dx}{dp} - \frac{1}{-1} x = \frac{-1/p^2}{-1}
$$即：
$$
\frac{dx}{dp} + x = \frac{1}{p^2}
$$积分因子：
$$
\mu(p) = e^{\int 1, dp} = e^{p}
$$解得：
$$
e^{p} x = \int \frac{e^{p}}{p^2} , dp + C
$$所以：
$$
x = e^{-p} \left( \int \frac{e^{p}}{p^2} , dp + C \right)
$$代回 $y = x(p+1) + \frac{1}{p}$ 得到参数解：
$$
\begin{cases}
x = e^{-p} \left( \int \frac{e^{p}}{p^2} , dp + C \right) \\
y = x(p+1) + \frac{1}{p}
\end{cases}
$$
2.7 包络线和奇解
2.7.1. 包络线（Envelope）
几何定义
包络线是一条曲线，它在某个位置上与一族曲线相切，并且在附近不与它们相交。
通俗讲：如果你有一堆曲线像一摞扇形的叶片，包络线就是“外壳曲线”。
数学定义
设一族曲线由
$$
F(x, y, C) = 0
$$
表示，$C$ 是参数。包络线满足：
它在点 $(x, y)$ 上与族中某条曲线相切；
这个相切条件可由参数消去方程：
$$
\frac{\partial F}{\partial C} = 0
$$与 $F = 0$ 联立得到。
2.7.2. 奇解（Singular Solution）
定义
在微分方程的所有解中，有时会出现一条特殊的解曲线：
- 它不能通过给定的积分常数 $C$ 从一般解中直接得到；
- 它通常是一般解族的包络线；
- 它可能是唯一的物理解，或者与一般解族一起组成解的完整集。
因此，奇解 = 一般解族的包络线 在大多数经典情形中成立（但并非所有奇解都是包络线，有时奇解来自不同原因）。
2.7.3. 与克莱罗方程、拉格朗日方程的关系
克莱罗方程：
$$
y = x p + f(p), \quad p = y’
$$一般解是直线族：
$$
y = Cx + f(C)
$$特殊解来自：
$$
x + f’(C) = 0
$$它恰好是直线族的包络线 → 也是奇解。
拉格朗日方程：
$$
y = x f(p) + g(p)
$$一般解是一族曲线，特殊解来自：
$$
p - f(p) = 0
$$这个特殊解也是一般解族的包络线 → 也是奇解。
2.7.4. 求包络线的步骤（适用于奇解判断）
已知一般解族：
$$
F(x, y, C) = 0
$$对 $C$ 求偏导并令其为零：
$$
\frac{\partial F}{\partial C} = 0
$$联立两式消去 $C$，得到曲线方程，这就是包络线（通常是奇解）。
例题（克莱罗方程）
解：
$$
y = x y’ + (y’)^2
$$
一般解：
$$
y = Cx + C^2
$$包络线条件：
$$
\frac{\partial}{\partial C} (y - Cx - C^2) = -x - 2C = 0 \implies C = -\frac{x}{2}
$$代回：
$$
y = -\frac{x}{2} \cdot x + \left(-\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{4}
$$
结果：
- 一般解族：$y = Cx + C^2$
- 包络线（奇解）：$y = -\frac{x^2}{4}$
几何意义：这一抛物线在每一点上都与族中的某条直线相切。
| 概念 | 定义 | 与微分方程的关系 |
|---|---|---|
| 包络线 | 与一族曲线相切的曲线 | 从 $F=0$ 和 $\partial F/\partial C = 0$ 得到 |
| 奇解 | 不能由一般解直接取 $C$ 得到的特殊解 | 在很多经典方程中，奇解就是一般解族的包络线 |
3. 伯努利方程（Bernoulli Equation）
伯努利方程是以下形式的一阶非线性微分方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n
$$
其中：
- $P(x)$、$Q(x)$ 是已知函数
- $n$ 是常数（且 $n \neq 0, 1$，因为 $n = 0$ 或 $n = 1$ 时方程退化为一阶线性方程）
特点
- 直接看是非线性方程（因为有 $y^n$ 项）
- 通过恰当的变量替换可以化为一阶线性微分方程
- 这个替换就是 $v = y^{1-n}$ 或者等价地 $y^{n-1}$ 作为新变量
解法步骤
写出方程：
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x) y^n
$$变量替换：
令：$$
v = y^{1-n}
$$则：
$$
\frac{dv}{dx} = (1-n) y^{-n} \frac{dy}{dx}
$$代入原方程：
原式两边除以 $y^n$：$$
y^{-n} \frac{dy}{dx} + P(x) y^{1-n} = Q(x)
$$注意：
$$
y^{-n} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx}
$$且 $y^{1-n} = v$。
所以：
$$
\frac{1}{1-n} \frac{dv}{dx} + P(x) v = Q(x)
$$化为线性方程：
$$
\frac{dv}{dx} + (1-n) P(x) v = (1-n) Q(x)
$$这就是关于 $v$ 的一阶线性方程。
解线性方程：
积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int (1-n) P(x) dx}
$$通解：
$$
v(x) = \frac{\int \mu(x) (1-n) Q(x) dx + C}{\mu(x)}
$$
回代：
由 $v = y^{1-n}$，得到：$$
y = \big[ v(x) \big]^{\frac{1}{1-n}}
$$
特殊情况
当 $n = 0$：方程为
$$
\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)
$$直接是一阶线性方程。
当 $n = 1$：方程为
$$
\frac{dy}{dx} + \big(P(x) - Q(x)\big) y = 0
$$也是一阶线性方程。
例题
解：
$$
\frac{dy}{dx} + y = x y^2
$$
解：
$P(x) = 1, \quad Q(x) = x, \quad n = 2$
令：
$$
v = y^{1-2} = y^{-1}
$$则：
$$
\frac{dv}{dx} = -y^{-2} \frac{dy}{dx}
$$原方程两边除以 $y^2$：
$$
y^{-2} \frac{dy}{dx} + y^{-1} = x
$$即：
$$
-\frac{dv}{dx} + v = x
$$改写为：
$$
\frac{dv}{dx} - v = -x
$$积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int -1 , dx} = e^{-x}
$$解：
$$
e^{-x} v = \int -x e^{-x} dx + C
$$分部积分：
$$
\int -x e^{-x} dx = (x+1) e^{-x}
$$所以：
$$
e^{-x} v = (x+1) e^{-x} + C
$$$$
v = x + 1 + C e^{x}
$$回代 $v = y^{-1}$：
$$
\frac{1}{y} = x + 1 + C e^{x}
$$因此：
$$
y = \frac{1}{x + 1 + C e^{x}}
$$
4. Riccati 方程
Riccati 方程，它在微分方程里是一个重要的非线性一阶方程类型。
Riccati 方程的标准形式是：
$$
\frac{dy}{dx} = a(x) y^2 + b(x) y + c(x)
$$
其中：
- $a(x), b(x), c(x)$ 是已知函数
- 这是一个非线性一阶方程（因为有 $y^2$ 项）
- 如果 $a(x) \equiv 0$，它就退化为线性方程
特点
- 非线性：主要难度在 $y^2$ 项
- 可通过一个已知特解转化为线性方程
Riccati 方程一般不能直接求解，但是如果你知道它的一个特解 $y_p(x)$，就可以化简。
解法思想（已知一个特解的情况）
假设我们已经知道一个特解：
$$
y_p’(x) = a(x) y_p^2 + b(x) y_p + c(x)
$$
步骤：
作代换：
$$
y(x) = y_p(x) + \frac{1}{u(x)}
$$求导：
$$
y’ = y_p’ - \frac{u’}{u^2}
$$代入原方程：
用 $y = y_p + 1/u$ 和 $y’$ 代入：$$
y_p’ - \frac{u’}{u^2} = a \left(y_p + \frac{1}{u}\right)^2 + b\left(y_p + \frac{1}{u}\right) + c
$$利用特解方程消去非必要项：
因为 $y_p$ 满足原方程，
把 $y_p’ = a y_p^2 + b y_p + c$ 代掉，可以消去关于 $y_p$ 的一大堆项。结果会变成：
$$
-\frac{u’}{u^2} = \frac{2 a y_p + b}{u} + \frac{a}{u^2}
$$乘以 $u^2$：
$$
-u’ = (2 a y_p + b) u + a
$$这就是一个一阶线性方程：
$$
u’ + (2 a y_p + b) u = -a
$$解线性方程：
积分因子：
$$
\mu(x) = e^{\int (2 a y_p + b) dx}
$$解出 $u(x)$
回代：
$$
y(x) = y_p(x) + \frac{1}{u(x)}
$$
特殊情况
- 如果 $a(x)$ 是常数，且 $b(x), c(x)$ 也简单，有时可以用特殊代换 $y = -\frac{1}{a} \frac{u’}{u}$ 直接化为二阶线性方程。
- 实际上 Riccati 方程和二阶线性方程有一一对应关系（它是二阶线性方程通过比值变换得到的）。
举个简单例子
解：
$$
\frac{dy}{dx} = y^2 - x^2
$$
尝试找一个简单特解：假设 $y_p = x$，则
$$
y_p’ = 1, \quad y_p^2 - x^2 = x^2 - x^2 = 0
$$不满足 → 失败
尝试 $y_p = -x$，同样失败。换常数解 $y_p = k$：
$$
0 = k^2 - x^2
$$不可能恒成立 → 也失败。
（说明这个例子得用二阶线性方法处理，而不是直接找常数解）
| 特性 | 说明 |
|---|---|
| 类型 | 一阶非线性 ODE |
| 一般形式 | $y’ = a(x) y^2 + b(x) y + c(x)$ |
| 解法关键 | 已知一个特解时可化为一阶线性方程 |
| 与二阶方程关系 | 可由二阶线性方程的解变换得到 |
5. 常系数微分方程组
5.1. 齐次线性微分方程组
齐次线性微分方程组指的是形如：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}
$$
其中：
- $\mathbf{x}(t) = \begin{bmatrix} x_1(t) \ x_2(t) \ \vdots \ x_n(t) \end{bmatrix}$ 为未知函数列向量
- $A$ 是 $n \times n$ 的常系数矩阵（常见情形）
- 没有常数项或强迫项（因此称为齐次 homogeneous）
如果有附加项 $\mathbf{f}(t)$（即 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$），那就是非齐次的情形（5.2）。
矩阵形式与基本思路
齐次系统：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}
$$
的解法与一阶线性常微分方程类似，只不过未知量是向量，系数是矩阵。
核心思想：
- 单个变量 $y’ = ay$ 的解是 $y(t) = C e^{at}$
- 矩阵系统的解是 $\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{C}$，其中 $e^{At}$ 是矩阵指数。
解法步骤（常系数情形）
步骤 1： 写出特征方程
从矩阵方程：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}
$$
假设解形如 $\mathbf{x}(t) = \mathbf{v} e^{\lambda t}$，代入得到：
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
这是矩阵 $A$ 的特征值问题。
得到特征方程：
$$
\det(A - \lambda I) = 0
$$
步骤 2： 求特征值 $\lambda_i$
每个特征值对应一个（或多个）特征向量。
步骤 3： 求特征向量 $\mathbf{v}_i$
对于每个 $\lambda_i$，解：
$$
(A - \lambda_i I)\mathbf{v} = 0
$$
步骤 4： 写出通解
如果 $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量：
$$
\mathbf{x}(t) = c_1 \mathbf{v}_1 e^{\lambda_1 t} + c_2 \mathbf{v}_2 e^{\lambda_2 t} + \dots + c_n \mathbf{v}_n e^{\lambda_n t}
$$
步骤 5（特殊情况）： 特征值重根或复数
- 重根：用广义特征向量求解，解中会出现多项式因子 $t^k$
- 复特征值：如果 $\lambda = \alpha \pm i\beta$，则解可化为：
$$
e^{\alpha t} \left[ \mathbf{p} \cos(\beta t) + \mathbf{q} \sin(\beta t) \right]
$$
例子
求解：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} =
\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{bmatrix} \mathbf{x}
$$
Step 1：特征方程
$$
\det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{bmatrix} = (2-\lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0
$$
$$
\Rightarrow \lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 3
$$
Step 2：特征向量
- 对 $\lambda_1 = 1$：
$$
\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \mathbf{v} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
- 对 $\lambda_2 = 3$：
$$
\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \mathbf{v} = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
Step 3：通解
$$
\mathbf{x}(t) = c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} e^{t} + c_2 \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} e^{3t}
$$
矩阵指数法（更一般的形式）
如果直接求 $e^{At}$：
$$
e^{At} = I + At + \frac{A^2 t^2}{2!} + \dots
$$
一旦求得 $e^{At}$，通解是：
$$
\mathbf{x}(t) = e^{At} \mathbf{x}(0)
$$
适合初值问题。
- 关键思想：将系统转化为特征值问题
- 通解是若干个指数函数和特征向量的线性组合
- 复数特征值会产生正弦和余弦项
- 矩阵指数 $e^{At}$ 是更高阶统一解法
5.2. 非齐次线性微分方程组
非齐次线性微分方程组 一般写作：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)
$$
其中：
- $\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n$：未知向量函数
- $A$：$n \times n$ 常系数矩阵（也可以是 $t$ 的函数，但常系数最常见）
- $\mathbf{f}(t)$：已知向量函数，称为外部输入或强迫项（forcing term）
如果 $\mathbf{f}(t) \equiv \mathbf{0}$，就退化成齐次系统。
一般解的结构
核心性质：
非齐次线性系统的解 = 齐次系统的通解 + 任意一个特解。
即：
$$
\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_h(t) + \mathbf{x}_p(t)
$$
- $\mathbf{x}_h(t)$：齐次方程 $\frac{d\mathbf{x}}{dt} = A\mathbf{x}$ 的通解（5.1 已讲）
- $\mathbf{x}_p(t)$：非齐次方程的一个特解
解法方法
方法一：常数变易法（Variation of Parameters）
Step 1：求齐次通解
齐次解：
$$
\mathbf{x}_h(t) = e^{At} \mathbf{C}
$$
Step 2：假设常数变为函数
将常数向量 $\mathbf{C}$ 改为 $\mathbf{u}(t)$：
$$
\mathbf{x}_p(t) = e^{At} \mathbf{u}(t)
$$
Step 3：代回原方程
代入 $\frac{d\mathbf{x}_p}{dt} = A e^{At} \mathbf{u}(t) + e^{At} \mathbf{u}’(t)$：
$$
A e^{At} \mathbf{u}(t) + e^{At} \mathbf{u}’(t) = A e^{At} \mathbf{u}(t) + \mathbf{f}(t)
$$
化简得到：
$$
e^{At} \mathbf{u}’(t) = \mathbf{f}(t)
$$
因此：
$$
\mathbf{u}’(t) = e^{-At} \mathbf{f}(t)
$$
Step 4：积分求 $\mathbf{u}(t)$
$$
\mathbf{u}(t) = \int e^{-At} \mathbf{f}(t) , dt
$$
Step 5：写出特解
$$
\mathbf{x}_p(t) = e^{At} \int e^{-At} \mathbf{f}(t) , dt
$$
方法二：矩阵指数公式（Duhamel 公式）
直接给出初值问题解：
$$
\mathbf{x}(t) = e^{A(t-t_0)} \mathbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^t e^{A(t-s)} \mathbf{f}(s) , ds
$$
- 第一项：齐次解（由初值决定）
- 第二项：外部输入对系统的影响（卷积形式）
方法三：待定系数法
- 适合 $\mathbf{f}(t)$ 是多项式、指数、正弦/余弦等有限组合的情况
- 假设特解形式与 $\mathbf{f}(t)$ 类似，代入方程求系数
例如：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} =
\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \mathbf{x} +
\begin{bmatrix} e^t \\ \cos t \end{bmatrix}
$$
可以分别假设特解第一分量是 $k e^t$，第二分量是 $a\cos t + b\sin t$。
例子
求解：
$$
\frac{d\mathbf{x}}{dt} =
\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \mathbf{x} +
\begin{bmatrix} e^{2t} \\ t \end{bmatrix}
$$
Step 1：齐次解
$$
\mathbf{x}_h(t) =
\begin{bmatrix} C_1 e^{2t} \\ C_2 e^{3t} \end{bmatrix}
$$
Step 2：特解（待定系数法）
- 对第一分量：
$$
x_1’ = 2x_1 + e^{2t}
$$
假设 $x_{1p} = kt e^{2t}$，代入：
$$
(2k t + k)e^{2t} = 2k t e^{2t} + e^{2t} \quad\Rightarrow\quad k = 1
$$
所以 $x_{1p} = t e^{2t}$
- 对第二分量：
$$
x_2’ = 3x_2 + t
$$
假设 $x_{2p} = at + b$，代入：
$$
a = 3(at + b) + t \quad\Rightarrow\quad a = 3a,\quad 0 = 3b + t
$$
把左右两边按幂次分组：
$t$ 的系数：左边为 $-3a$，右边为 $1$，所以
$$
-3a=1 \ \Longrightarrow\ a=-\frac13.
$$常数项：左边为 $a-3b$，右边为 $0$，所以
$$
a-3b=0 \ \Longrightarrow\ -\frac13-3b=0 \ \Longrightarrow\ b=-\frac19.
$$
于是特解为
$$
x_{2p}(t)= -\frac13,t - \frac19.
$$
检验（带回原方程）：
$$
x_{2p}’ = -\frac13,\qquad 3x_{2p}+t = 3!\left(-\frac13 t-\frac19\right)+t = -t-\frac13+t = -\frac13.
$$
两边相等，成立。
Step 3：总解
$$
\mathbf{x}(t) =
\begin{bmatrix} C_1 e^{2t} + t e^{2t} \\ C_2 e^{3t} - \frac13 t - \frac19 \end{bmatrix}
$$
- 核心公式（常数变易法 / Duhamel 公式）：
$$
\mathbf{x}(t) = e^{A(t-t_0)}\mathbf{x}(t_0) + \int_{t_0}^t e^{A(t-s)} \mathbf{f}(s) , ds
$$
- 齐次解：取 $\mathbf{f}(t) \equiv 0$
- 特解：用常数变易法或待定系数法求
- 对于工程控制系统，Duhamel 公式直接给出系统对输入的响应（卷积形式）
6. 欧拉方程
6.1 二阶齐次欧拉方程
二阶齐次欧拉方程其实是“系数随 $x$ 变化、但按幂次成比例”的二阶线性微分方程。
标准形式是：
$$
x^2 y’’ + a x y’ + b y = 0, \quad x > 0
$$
其中 $a, b$ 是常数。
有时也写成：
$$
y’’ + \frac{a}{x} y’ + \frac{b}{x^2} y = 0
$$
这种方程也叫 Cauchy–Euler 方程 或 等次方程。
特点
- 系数不是常数，而是按 $x$ 的幂次变化，例如 $x^2$、$x$、常数。
- 它的解法很像常系数方程，只不过不是用 $e^{rt}$ 形式，而是用幂函数 $x^m$ 形式。
- 原因：若把 $t = \ln x$，方程会变成一个常系数方程。
解法步骤
方法一： 幂函数试探法
假设解的形式为：
$$
y = x^m
$$计算导数：
$$
y’ = m x^{m-1}, \quad y’’ = m(m-1) x^{m-2}
$$代入方程：
$$
x^2 \cdot m(m-1) x^{m-2} + a x \cdot m x^{m-1} + b x^m = 0
$$化简得：
$$
\big[ m(m-1) + a m + b \big] x^m = 0
$$得到特征方程：
$$
m^2 + (a-1) m + b = 0
$$
方法二： 对数变换法
令：
$$
t = \ln x, \quad Y(t) = y(e^t)
$$
则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \frac{dY}{dt}, \quad \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{x^2} \left( \frac{d^2Y}{dt^2} - \frac{dY}{dt} \right)
$$
代入原方程会变成一个常系数二阶方程：
$$
Y’’ + (a-1) Y’ + b Y = 0
$$
然后用常系数方法解，最后代回 $x = e^t$。
解的类型
设特征方程：
$$
m^2 + (a-1)m + b = 0
$$
判别式：
$$
\Delta = (a-1)^2 - 4b
$$
情况 1：两个不同实根 $m_1 \neq m_2$
$$
y = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2}
$$情况 2：重根 $m_1 = m_2 = m$
$$
y = C_1 x^{m} + C_2 x^{m} \ln x
$$情况 3：复根 $m = \alpha \pm i\beta$
$$
y = x^{\alpha} \left[ C_1 \cos(\beta \ln x) + C_2 \sin(\beta \ln x) \right]
$$
例：解
$$
x^2 y’’ + 3x y’ + y = 0
$$
- 特征方程：
$$
m(m-1) + 3m + 1 = m^2 + 2m + 1 = (m+1)^2 = 0
$$
- 重根 $m = -1$
- 解：
$$
y = C_1 x^{-1} + C_2 x^{-1} \ln x
$$
特点总结
- 形如 $x^k$ 系数 → 用 $y = x^m$ 试探
- 特征方程解法与常系数类似
- 有重根时出现 $\ln x$
- 有复根时出现 $\cos(\beta \ln x), \sin(\beta \ln x)$
- 通过 $t = \ln x$ 可以化为常系数方程
6.2 高阶齐次欧拉方程
高阶齐次欧拉方程，它是二阶欧拉方程在高阶（3 阶、4 阶…）的自然推广。
一个 n 阶齐次欧拉方程 一般写成：
$$
x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + a_{n-2} x^{n-2} y^{(n-2)} + \dots + a_1 x y’ + a_0 y = 0
$$
其中 $a_k$ 都是常数，且各项的 $x$ 次方与导数的阶数相加相等（这就是“等次”）。
解法思想
高阶欧拉方程和二阶欧拉方程的核心方法完全一样：
- 猜解 $y = x^m$（幂函数）
- 化为代数方程（特征方程）
- 解出 $m$ 后，根据根的类型写出通解
解法步骤
Step 1：试探解
设
$$
y = x^m
$$
计算导数：
$$
y’ = m x^{m-1}, \quad y’’ = m(m-1) x^{m-2}, \quad y^{(k)} = m(m-1)\dots(m-k+1) x^{m-k}
$$
Step 2：代入方程
以三阶为例：
$$
x^3 y’’’ + a_2 x^2 y’’ + a_1 x y’ + a_0 y = 0
$$
代入 $y = x^m$：
$$
x^3 [m(m-1)(m-2) x^{m-3}] + a_2 x^2 [m(m-1) x^{m-2}] + a_1 x [m x^{m-1}] + a_0 x^m = 0
$$
化简：
$$
\big[ m(m-1)(m-2) + a_2 m(m-1) + a_1 m + a_0 \big] x^m = 0
$$
Step 3：特征方程
得到m 的多项式方程：
$$
m(m-1)(m-2) + a_2 m(m-1) + a_1 m + a_0 = 0
$$
一般情况下，n 阶欧拉方程的特征方程是一个 n 次多项式。
Step 4：根据根的情况写解
设多项式有根：
不同实根 $m_1, m_2, \dots, m_n$：
$$
y = C_1 x^{m_1} + C_2 x^{m_2} + \dots + C_n x^{m_n}
$$重根：若 $m$ 是重根，解中会出现 $\ln x$ 的幂次：
$$
x^m, \quad x^m \ln x, \quad x^m (\ln x)^2, \dots
$$复根：若 $m = \alpha \pm i\beta$，则解为：
$$
x^{\alpha} \cos(\beta \ln x), \quad x^{\alpha} \sin(\beta \ln x)
$$（多个复根可叠加）
对数变换法（另一种思路）
令 $t = \ln x, ; Y(t) = y(e^t)$，有：
$$
\frac{d}{dx} = \frac{1}{x} \frac{d}{dt}
$$
这样高阶欧拉方程会变成一个常系数高阶方程：
$$
Y^{(n)} + b_{n-1} Y^{(n-1)} + \dots + b_0 Y = 0
$$
直接用常系数法解，然后再代回 $x = e^t$。
例：解
$$
x^3 y’’’ - 3x^2 y’’ + 4x y’ - 4y = 0
$$
Step 1 试 $y = x^m$，代入得特征方程：
$$
m(m-1)(m-2) - 3m(m-1) + 4m - 4 = 0
$$
Step 2 展开：
$$
m^3 - 3m^2 + 2m - 3m^2 + 3m + 4m - 4 = m^3 - 6m^2 + 9m - 4 = 0
$$
Step 3 因式分解：
$$
(m-1)^2 (m-4) = 0
$$
Step 4 根：
- 重根 $m=1$（重数 2）
- 单根 $m=4$
解：
$$
y = C_1 x + C_2 x \ln x + C_3 x^4
$$
高阶齐次欧拉方程：
- 与二阶欧拉方程方法相同，只是特征方程阶数更高
- 根的类型 → 通解的结构（幂函数、幂×对数、幂×三角）
- 对数变换 $t = \ln x$ 可以一键变成常系数问题
6.3 高阶非齐次欧拉方程
高阶非齐次欧拉方程，它是在高阶齐次欧拉方程的基础上，加了一个非齐次项 $f(x)$。
一个 n 阶非齐次欧拉方程可以写成：
$$
x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \dots + a_1 x y’ + a_0 y = f(x)
$$
其中 $a_k$ 为常数，$f(x)$ 为已知函数。
齐次部分的系数依然满足“等次”规律。
解的结构
$$
y = y_h + y_p
$$
- $y_h$：齐次方程的通解（跟 6.2 一样）
- $y_p$：非齐次方程的一个特解
所以，关键是：
- 先解齐次部分（特征方程 → 根型 → 通解）
- 再求特解（方法取决于 $f(x)$ 形式）
求特解的方法
高阶非齐次欧拉方程的特解可以用 两大方法：
方法一：降维变换法（$t = \ln x$）
令 $t = \ln x, \quad Y(t) = y(e^t)$
将欧拉方程变成一个 常系数非齐次微分方程：
$$
L(D) Y = F(t), \quad D = \frac{d}{dt}
$$用常系数方程的常规方法求特解（如待定系数法、参数变易法）
再代回 $x = e^t$
方法二：直接试探法（待定系数）
如果 $f(x)$ 是比较简单的函数（如幂函数、幂×对数、幂×三角），可以直接在 $x$ 变量下猜解：
如果 $f(x) = x^k$
- 若 $m=k$ 不是齐次方程的根，试 $y_p = A x^k$
- 若 $m=k$ 是根，试 $y_p = A x^k \ln x$
- 若是重根，乘更高次 $(\ln x)^p$
如果 $f(x) = x^k \ln^p x$
- 猜 $y_p = x^k$ 的多项式（对数幂次与 $f$ 相同）
- 如果 $m=k$ 是特征方程根，则额外乘 $\ln x$
如果 $f(x) = x^k \cos(\beta \ln x)$ 或 $x^k \sin(\beta \ln x)$
猜解形式为：
$$
x^k \left( A \cos(\beta \ln x) + B \sin(\beta \ln x) \right)
$$若对应复根 $\alpha \pm i\beta$ 是齐次方程的根，则乘 $\ln x$
例：解
$$
x^2 y’’ - x y’ + y = x^2
$$
Step 1：解齐次方程
方程：
$$
x^2 y’’ - x y’ + y = 0
$$
试 $y = x^m$：
$$
m(m-1) - m + 1 = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 = 0
$$
重根 $m=1$ →
$$
y_h = C_1 x + C_2 x \ln x
$$
Step 2：求特解
非齐次项 $f(x) = x^2$，猜 $y_p = A x^2$（注意 $m=2$ 不是齐次根）
代入：
$$
y_p’ = 2A x, \quad y_p’’ = 2A
$$
$$
x^2(2A) - x(2A x) + A x^2 = 2A x^2 - 2A x^2 + A x^2 = A x^2
$$
等于 $x^2$ → $A = 1$
所以：
$$
y_p = x^2
$$
Step 3：通解
$$
y = C_1 x + C_2 x \ln x + x^2
$$
总结解题流程
齐次解：
- 猜 $x^m$ → 特征方程 → 根型 → 写通解
特解：
- 待定系数法（幂函数、幂×对数、幂×三角）
- 若猜的指数/频率与齐次根冲突，乘上 $\ln x$
通解 = 齐次解 + 特解
7. 二阶常微分方程
7.1. 二阶齐次常微分方程
二阶齐次常微分方程是指形如：
$$
a y’’ + b y’ + c y = 0
$$
其中：
- $a, b, c$ 为常数（$a \neq 0$）
- $y’’$ 是 $y$ 关于 $x$ 的二阶导数
- $y’$ 是一阶导数
- $y$ 是未知函数
这是一个二阶、线性、常系数、齐次的常微分方程。
解法思路
(1) 特征方程法
我们假设解的形式为：
$$
y = e^{rx}
$$
代入原方程：
$$
a (r^2 e^{rx}) + b (r e^{rx}) + c (e^{rx}) = 0
$$
提取 $e^{rx}$（它永不为零）：
$$
a r^2 + b r + c = 0
$$
得到特征方程：
$$
a r^2 + b r + c = 0
$$
(2) 根据判别式分类讨论
设判别式：
$$
\Delta = b^2 - 4ac
$$
两个不相等的实根 $r_1, r_2$（$\Delta > 0$）
$$
y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}
$$其中 $C_1, C_2$ 为常数。
两个相等的实根 $r_1 = r_2 = r$（$\Delta = 0$）
$$
y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}
$$或写作
$$
y = C_1 e^{rx} + C_2 x e^{rx}
$$一对共轭复根 $r_{1,2} = \alpha \pm i \beta$（$\Delta < 0$）
根据欧拉公式 $e^{i\beta x} = \cos(\beta x) + i\sin(\beta x)$，解为$$
y = e^{\alpha x} \left( C_1 \cos(\beta x) + C_2 \sin(\beta x) \right)
$$
三种情况总结表
| 判别式 $\Delta$ | 根的类型 | 通解形式 |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | 两个不等实根 $r_1, r_2$ | $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$ |
| $\Delta = 0$ | 两个相等实根 $r$ | $y = (C_1 + C_2 x) e^{rx}$ |
| $\Delta < 0$ | 共轭复根 $\alpha \pm i \beta$ | $y = e^{\alpha x} ( C_1 \cos \beta x + C_2 \sin \beta x)$ |
例1
解方程：
$$
y’’ - 5y’ + 6y = 0
$$
解：
特征方程：
$$
r^2 - 5r + 6 = 0
$$
$$
(r - 2)(r - 3) = 0 \quad\Rightarrow\quad r_1 = 2,\ r_2 = 3
$$
通解：
$$
y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}
$$
例2
解方程：
$$
y’’ - 4y’ + 4y = 0
$$
解：
特征方程：
$$
r^2 - 4r + 4 = 0
$$
$$
(r - 2)^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = 2
$$
通解：
$$
y = (C_1 + C_2 x) e^{2x}
$$
例3
解方程：
$$
y’’ + 2y’ + 5y = 0
$$
解：
特征方程：
$$
r^2 + 2r + 5 = 0
$$
$$
r = -1 \pm 2i
$$
通解：
$$
y = e^{-x} \left( C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \right)
$$
小结
- 核心方法：假设指数型解 $y=e^{rx}$ → 求特征方程 → 分类讨论
- 三种根型决定三种解的形式
- 复数根时记得用欧拉公式化为实解
7.2. 二阶非齐次常微分方程
二阶非齐次常微分方程指：
$$
a y’’ + b y’ + c y = f(x)
$$
其中：
- $a, b, c$ 为常数（$a \neq 0$）
- $f(x)$ 不恒为零（非齐次项）
- $y$ 是未知函数
它和 齐次方程 的区别就是右边 $f(x) \neq 0$。
基本原理：
$$
\text{通解} = \text{齐次解} + \text{特解}
$$
齐次解 $y_h$：解对应的齐次方程
$$
a y’’ + b y’ + c y = 0
$$用 特征方程法（7.1 讲过）
特解 $y_p$：找一个能满足原方程的特定解，方法取决于 $f(x)$ 的形式
特解求法
主要方法有：
(1) 常数变易法（Variation of Parameters）
适用范围：任意 $f(x)$（通用但计算量大）
步骤：
- 求齐次解 $y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2$
- 假设特解 $y_p = u_1(x) y_1 + u_2(x) y_2$
- 加上条件 $u_1’ y_1 + u_2’ y_2 = 0$，解出 $u_1’, u_2’$
- 积分得到 $u_1, u_2$
公式（常用记忆法）：
$$
u_1’ = - \frac{y_2 f(x)}{W}, \quad
u_2’ = \frac{y_1 f(x)}{W}
$$
其中 $W = \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1’ & y_2’ \end{vmatrix}$ 是朗斯基行列式。
(2) 待定系数法（Method of Undetermined Coefficients）
适用范围：当 $f(x)$ 是以下类型的线性组合时：
- $P_n(x)$（多项式）
- $e^{kx}$
- $\sin(\omega x)$, $\cos(\omega x)$
- 以及这些的乘积
步骤：
- 根据 $f(x)$ 的形式假设 $y_p$ 的形式
- 代入方程求系数
⚠ 注意：如果 $y_p$ 假设的形式与齐次解的某部分重复，需要乘以 $x$（一次不够就乘 $x^2$）。
例题
例1（待定系数法）
$$
y’’ - 3y’ + 2y = e^x
$$
解
齐次方程：
$$
r^2 - 3r + 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad r=1,2
$$
齐次解：
$$
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}
$$
非齐次项 $e^x$ 与 $e^x$ 在齐次解中重复 ⇒ 假设：
$$
y_p = A x e^x
$$
代入原方程求 $A$：
$$
y_p’ = A e^x + A x e^x
$$
$$
y_p’’ = 2A e^x + A x e^x
$$
代回：
$$
(2A e^x + A x e^x) - 3(A e^x + A x e^x) + 2(A x e^x) = e^x
$$
整理：
$$
(2A - 3A) e^x = e^x \quad\Rightarrow\quad -A = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -1
$$
所以：
$$
y_p = -x e^x
$$
通解：
$$
y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x
$$
例2（常数变易法）
$$
y’’ + y = \sec x
$$
齐次解：
$$
r^2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i
$$
$$
y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x
$$
$y_1 = \cos x,\ y_2 = \sin x,\ W = 1$
常数变易法：
$$
u_1’ = - \frac{\sin x \cdot \sec x}{1} = -\tan x
$$
$$
u_1 = \ln|\cos x|
$$
$$
u_2’ = \frac{\cos x \cdot \sec x}{1} = 1
$$
$$
u_2 = x
$$
特解：
$$
y_p = u_1 y_1 + u_2 y_2 = (\ln|\cos x|) \cos x + x \sin x
$$
通解：
$$
y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + (\ln|\cos x|) \cos x + x \sin x
$$
通解结构：$y = y_h + y_p$
两种主要方法：
- 待定系数法：快，但只适用于特殊 $f(x)$
- 常数变易法：通用，适合复杂 $f(x)$
特解假设时避免与齐次解重复（乘 $x$）
7.3. 二阶非齐次常微分方程特解猜法速查表
考虑方程：
$$
a y’’ + b y’ + c y = f(x)
$$
- 先求齐次解 $y_h$，找到根的类型和 $y_1, y_2$
- 根据 $f(x)$ 形式猜特解 $y_p$（待定系数法）
- 如果猜的形式和齐次解重复 ⇒ 乘以 $x$，必要时乘 $x^2$
表格
| 非齐次项 $f(x)$ 形式 | 初始假设的 $y_p$ 形式 | 与齐次解重复时的处理 |
|---|---|---|
| 常数 $K$ | $A$ | 乘 $x$ |
| $e^{kx}$ | $A e^{kx}$ | 乘 $x$ |
| 多项式 $P_n(x)$（次数 $n$） | $a_n x^n + \dots + a_1 x + a_0$ | 乘 $x$ |
| 多项式 × $e^{kx}$ | $(a_n x^n + \dots + a_0) e^{kx}$ | 乘 $x$ |
| $\sin \omega x$ 或 $\cos \omega x$ | $A \cos \omega x + B \sin \omega x$ | 乘 $x$ |
| $e^{kx} \cos \omega x$ 或 $e^{kx} \sin \omega x$ | $e^{kx}(A \cos \omega x + B \sin \omega x)$ | 乘 $x$ |
快速判断重复的方法
- 如果 $f(x)$ 对应的 $y_p$ 中包含的指数项 $e^{kx}$ 或三角项 $\cos,\sin$，在 $y_h$ 中已经出现过，就算重复
- 重复一次 ⇒ 乘 $x$
- 重复两次（极少见）⇒ 乘 $x^2$
例1
$$
y’’ - 2y’ + y = e^x
$$
齐次方程根：$r^2 - 2r + 1 = 0 \Rightarrow r=1$（重根）
齐次解：$y_h = C_1 e^x + C_2 x e^x$
非齐次项：$e^x$，与齐次解重复 ⇒ 乘 $x^2$
猜：$y_p = A x^2 e^x$
例2
$$
y’’ + y = \cos x
$$
齐次解：$C_1 \cos x + C_2 \sin x$
非齐次项 $\cos x$ 与齐次解重复 ⇒ 乘 $x$
猜：$y_p = x (A \cos x + B \sin x)$
8. 高阶微分方程
8.1. 可降阶高阶微分方程
可降阶高阶微分方程在考试里常见，关键点是——它虽然是高阶微分方程，但通过某些技巧可以降低阶数，化成二阶或一阶方程来解。
设有一个 $n$ 阶微分方程
$$
F(x, y, y’, y’’, \dots, y^{(n)}) = 0
$$
如果它可以通过某些方法转化为低阶方程（通常是一阶或二阶），就称为 可降阶高阶微分方程。
常见的降阶情形
1️⃣情形1：方程中没有 $y$ 本身
即方程只含有 $y’, y’’, \dots, y^{(n)}$。
做代换：
$$
p = y’, \quad p’ = y’’, \quad \dots
$$
这样就能把一个 $n$ 阶方程降成 $(n-1)$ 阶方程。
例题
$$
y’’ + y’ = 0
$$
代 $p = y’$，得
$$
p’ + p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = C_1 e^{-x}
$$
再积分：
$$
y = \int p dx = \int C_1 e^{-x} dx = -C_1 e^{-x} + C_2
$$
2️⃣情形2：方程中没有 $x$
即方程只含有 $y, y’, y’’, \dots, y^{(n)}$，但不显含 $x$。
做代换：
$$
p = y’, \quad y’’ = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}
$$
这样就能把高阶方程降一阶（因为把 $x$ 消掉了）。
例题
$$
y’’ = f(y)
$$
代入：
$$
p = y’, \quad y’’ = p \frac{dp}{dy}
$$
得到
$$
p \frac{dp}{dy} = f(y)
$$
这是一个关于 $p, y$ 的一阶方程。解出 $p(y)$ 后，再积分得到 $y(x)$。
3️⃣情形3：方程是齐次型（关于导数的齐次方程）
如果方程是形如
$$
F(y’, y’’, \dots, y^{(n)}) = 0
$$
可以做比值代换：
$$
y’ = p, \quad \frac{y’’}{y’} = \frac{dp}{dy}, \dots
$$
把它转化为低阶方程。
4️⃣情形4：方程具有对称性
有时候高阶方程会因为变量对称性而降阶，例如：
- 只含有偶数阶导数
- 只含有奇数阶导数
比如：
$$
y^{(4)} + y’’ = 0
$$
令 $z = y’’$，则变成
$$
z’’ + z = 0
$$
这就是二阶方程了。
例题整理
例1（无 $y$）
$$
y’’ - 2y’ = 0
$$
令 $p=y’$，得
$$
p’ - 2p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = C_1 e^{2x}
$$
积分：
$$
y = \frac{C_1}{2} e^{2x} + C_2
$$
例2（无 $x$）
$$
y’’ = y
$$
令 $p=y’$，
$$
y’’ = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\cdot \frac{dy}{dx} = p \frac{dp}{dy}
$$
所以：
$$
p \frac{dp}{dy} = y
$$
积分：
$$
\frac{p^2}{2} = \frac{y^2}{2} + C \quad\Rightarrow\quad p = \sqrt{y^2 + C}
$$
再积分：
$$
\frac{dy}{dx} = \sqrt{y^2 + C}
$$
这是一个一阶可分离变量方程。
例3（只含偶阶导数）
$$
y^{(4)} - y’’ = 0
$$
令 $z = y’’$，则
$$
z’’ - z = 0
$$
解得：
$$
z = C_1 e^x + C_2 e^{-x}
$$
再积分两次得到 $y(x)$。
8.2. 二阶线性微分方程
二阶线性微分方程 (Second-order Linear Differential Equation) 指的是含有未知函数 $y(x)$、其一阶导数 $y’(x)$、二阶导数 $y’’(x)$ 的方程，并且 $y(x)$、$y’(x)$、$y’’(x)$ 的系数只依赖于 $x$，且方程关于 $y$ 是线性的。一般写成：
$$
a_2(x)y’’ + a_1(x)y’ + a_0(x)y = f(x), \quad a_2(x) \neq 0
$$
其中：
- $a_2(x), a_1(x), a_0(x)$ 称为系数函数 (coefficient functions)；
- $f(x)$ 称为非齐次项 (nonhomogeneous term)；
- 如果 $f(x) = 0$，则称为齐次方程 (homogeneous equation)。
通常将方程化为标准形式：
$$
y’’ + p(x)y’ + q(x)y = r(x),
$$
其中
$p(x) = \dfrac{a_1(x)}{a_2(x)}$，
$q(x) = \dfrac{a_0(x)}{a_2(x)}$，
$r(x) = \dfrac{f(x)}{a_2(x)}$。
二阶线性方程的解分为两部分：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
$$
- $y_h(x)$：齐次方程的通解 (complementary solution, homogeneous solution)
解 $y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0$。 - $y_p(x)$：非齐次方程的特解 (particular solution)
解 $y’’ + p(x)y’ + q(x)y = r(x)$ 的一个特殊解。
齐次方程的解法
考虑常系数情形（最常见也最重要）：
$$
y’’ + ay’ + by = 0.
$$
1️⃣特征方程 (Characteristic equation)
假设解形如 $y = e^{\lambda x}$，代入得到：
$$
\lambda^2 + a\lambda + b = 0.
$$
这是特征方程，解的情况分为三类：
两个不相等实根 $\lambda_1, \lambda_2$
$$
y_h(x) = C_1 e^{\lambda_1 x} + C_2 e^{\lambda_2 x}.
$$一个重根 $\lambda$
$$
y_h(x) = (C_1 + C_2 x)e^{\lambda x}.
$$一对共轭复根 $\lambda_{1,2} = \alpha \pm i\beta$
$$
y_h(x) = e^{\alpha x}\big(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\big).
$$
常见的求特解方法有：
待定系数法 (Method of Undetermined Coefficients)
适用于 $r(x)$ 是多项式、指数函数、三角函数或它们的线性组合。假设 $y_p(x)$ 的形式与 $r(x)$ 类似，再代入确定系数。参数变动法 (Variation of Parameters)
一种通用方法，设$$
y_p(x) = u_1(x)y_1(x) + u_2(x)y_2(x),
$$其中 $y_1, y_2$ 是齐次方程的两个基本解，然后利用行列式公式（Wronskian 行列式）解出 $u_1, u_2$。
解的存在唯一性
定理：若 $p(x), q(x), r(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则对于初值条件
$$
y(x_0) = y_0, \quad y’(x_0) = y_1,
$$
该方程在 $I$ 上存在唯一解。
🌟 例题
解方程：
$$
y’’ - 3y’ + 2y = e^x.
$$
Step 1： 写出齐次方程
齐次方程为：
$$
y’’ - 3y’ + 2y = 0.
$$
设 $y = e^{\lambda x}$，得到特征方程：
$$
\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0.
$$
解得：
$$
\lambda_1 = 1, \quad \lambda_2 = 2.
$$
所以齐次解为：
$$
y_h(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x}.
$$
Step 2： 求特解 $y_p(x)$
右边 $r(x) = e^x$，它和齐次解中的 $e^x$ 重复（称为“共振情况”），所以我们尝试特解形式：
$$
y_p(x) = Ax e^x.
$$
Step 3：代入原方程
计算导数：
$$
y_p’ = A e^x + Ax e^x,
$$
$$
y_p’’ = 2Ae^x + Ax e^x.
$$
代入方程：
$$
(2Ae^x + Ax e^x) - 3(Ae^x + Ax e^x) + 2(Ax e^x) = e^x.
$$
整理：
$$
(2A - 3A)e^x + (A - 3A + 2A)x e^x = e^x,
$$
$$
(-A)e^x + 0 \cdot x e^x = e^x.
$$
于是：
$$
-A e^x = e^x \quad \Rightarrow \quad A = -1.
$$
所以：
$$
y_p(x) = -x e^x.
$$
Step 4：写出通解
通解为：
$$
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x.
$$
✅ 最终答案
$$
\boxed{y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{2x} - x e^x}
$$
偷偷说
微分方程相对来说，在修考只是一个Side Dish的存在www，熟记每个模板应该就没有太大问题了。