Signals and Systems
Signals and Systems
信号与系统知识点梳理:) 参考书籍📚：Signals & Systems 2nd Edition by Oppenheim
催更｜辅导｜私塾兼职｜联系偷偷：LifeGoesOn_Rio
1. Introduction
1.1 连续时间信号与离散信号 (Continuous-Time Signals and Discrete-Time Signals)
信号 (Signal)
定义：信号是携带信息的函数 (a function that carries information)。
数学表示：一般用函数 $x(t)$ 或 $x[n]$ 来表示，其中：
- $t$ 表示连续的自变量 (independent variable)，通常是时间 (time)。
- $n$ 表示离散的自变量，通常是整数序列 (integer sequence)。
1.1.1 连续时间信号 (Continuous-Time Signal)
定义：当信号的自变量 $t$ 在整个实数集合 (real number set) 上都定义时，称为连续时间信号。
记号：$x(t)$，其中 $t \in \mathbb{R}$。
例子：
- 正弦信号 (Sine signal)：$x(t) = A \sin(\omega t + \varphi)$
- 指数信号 (Exponential signal)：$x(t) = e^{at}$
- 音频信号 (Audio signal)：麦克风采集的语音就是连续时间信号。
特点：
- 值的变化是连续的 (continuous values)。
- 自变量是连续的 (continuous independent variable)。
1.1.2. 离散时间信号 (Discrete-Time Signal)
定义：当信号的自变量只在整数 (integer) 点上定义时，称为离散时间信号。
记号：$x[n]$，其中 $n \in \mathbb{Z}$。
例子：
- 采样信号 (Sampled signal)：将连续语音信号在时间间隔 $T$ 下采样 (sampling)，得到 $x[n] = x(nT)$。
- 数字图像 (Digital image)：由像素点组成，本质上是二维离散信号 (2D discrete signal)。
特点：
- 值可以是连续的 (例如浮点数)，也可以是量化后的离散值 (quantized values)。
- 自变量是离散的 (discrete independent variable)。
1.1.3. 连续时间与离散时间的关系 (Relation Between Continuous-Time and Discrete-Time Signals)
- 采样 (Sampling)：将连续时间信号 $x(t)$ 按照采样周期 $T$ 取样，得到 $x[n] = x(nT)$。
- 恢复 (Reconstruction)：在满足采样定理 (Sampling Theorem) 的条件下，可以通过插值 (interpolation) 从 $x[n]$ 恢复 $x(t)$。
1.1.4. 图形对比 (Graphical Comparison)
- 连续时间信号：在二维平面上是一条连续曲线 (smooth curve)。
- 离散时间信号：在二维平面上是一系列离散点 (sequence of points)。
1.2. 三大自变量变换 (Three Basic Independent Variable Transformations)
在信号与系统中，我们经常会对信号的 自变量 (independent variable) 进行变换。这些变换不会改变信号本身的“形状”，但会影响它在时间 (time) 或序列 (index) 上的表现。
主要有三大类：
- 时移 (Time Shifting)
- 时反 (Time Reversal)
- 时缩放 (Time Scaling)
1.2.1 时移 (Time Shifting)
- 定义：将信号整体沿时间轴平移 (shift along the time axis)。
- 连续时间：$x(t) \to x(t - t_0)$
- 离散时间：$x[n] \to x[n - n_0]$
解释：
- 如果 $t_0 > 0$，信号向右平移 (delay，延迟)。
- 如果 $t_0 < 0$，信号向左平移 (advance，提前)。
例子：
- 原信号：$x(t) = u(t)$ (单位阶跃信号 unit step signal)。
- 时移：$x(t-2) = u(t-2)$，信号从 $t=2$ 开始才为 1。
1.2.2. 时反 (Time Reversal / Time Folding)
- 定义：将信号在时间轴上进行翻转 (flip around time axis)。
- 连续时间：$x(t) \to x(-t)$
- 离散时间：$x[n] \to x[-n]$
解释：
- 把信号在 $t=0$ 作为对称轴进行镜像 (mirror reflection)。
例子：
- 原信号：$x(t) = e^{-t}u(t)$。
- 时反：$x(-t) = e^{t}u(-t)$，即原本定义在 $t>0$ 的信号，现在翻转到 $t<0$。
1.2.3. 时缩放 (Time Scaling)
- 定义：对时间进行“拉伸或压缩” (stretching or compressing in time)。
- 连续时间：$x(t) \to x(at)$，其中 $a \neq 0$。
- 离散时间：$x[n] \to x[kn]$，其中 $k$ 为整数。
解释：
- 如果 $|a| > 1$，信号被压缩 (compression)，信号变化得更快。
- 如果 $0 < |a| < 1$，信号被拉伸 (expansion)，信号变化得更慢。
- 如果 $a < 0$，还会伴随时反 (time reversal)。
例子：
- 原信号：$x(t) = \sin(t)$
- 缩放：$x(2t) = \sin(2t)$，频率变为原来的 2 倍，周期减半。
1.2.4. 三大变换的组合 (Combination of Transformations)
实际应用中，常常会同时出现多个变换，例如：
$x(2t - 4)$- 先缩放 (scaling by 2)，信号压缩一半；
- 再时移 (shift by +4/2 = 2)，信号延迟 2 个单位。
1.3 周期信号 (Periodic Signals)
如果一个信号 (signal) 在时间轴上不断重复出现某个基本波形 (basic waveform)，那么这个信号称为周期信号 (periodic signal)。
数学表达式：
连续时间信号 (Continuous-Time Signal)：
$$
x(t) = x(t + T), \quad \forall t \in \mathbb{R}
$$其中 $T > 0$ 称为周期 (period)。
离散时间信号 (Discrete-Time Signal)：
$$
x[n] = x[n + N], \quad \forall n \in \mathbb{Z}
$$其中 $N$ 是最小的正整数，称为基周期 (fundamental period)。
周期 (Period, $T$ or $N$)：信号重复的最小时间间隔 (smallest repeating interval)。
基频 (Fundamental frequency, $f_0$)：
对于连续时间信号：$$
f_0 = \frac{1}{T} \quad (\text{Hz})
$$对应的角频率 (angular frequency, $\omega_0$)：
$$
\omega_0 = \frac{2\pi}{T} \quad (\text{rad/s})
$$
1.3.1 连续时间周期信号 (Continuous-Time Periodic Signals)
例子：
正弦信号 (Sine signal)：
$$
x(t) = \sin(\omega_0 t + \varphi), \quad T = \frac{2\pi}{\omega_0}
$$余弦信号 (Cosine signal)：
$$
x(t) = \cos(\omega_0 t)
$$
👉 注意：两个连续时间信号相加，若其频率比是有理数 (rational number)，则结果是周期信号；若是无理数 (irrational number)，结果是非周期信号 (aperiodic signal)。
1.3.2. 离散时间周期信号 (Discrete-Time Periodic Signals)
例子：
$x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)$
要求基周期 (fundamental period $N$)，需要找到最小正整数 $N$，使得：
$$
\cos\left(\frac{\pi}{4}(n+N)\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}n\right)
$$解得 $N = 8$。
👉 注意：离散时间正弦信号是否周期性，取决于频率是否为 $2\pi$ 的有理数倍 (rational multiple of $2\pi$)。
1.3.3. 非周期信号 (Aperiodic Signals)
- 如果信号不能在有限的时间间隔后重复自己，则称为非周期信号 (aperiodic signal)。
- 例如：$x(t) = e^{-t}u(t)$，衰减指数信号，不会重复，因此是非周期的。
1.3.4. 多个正弦叠加的周期性判断
判断下列离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求其基周期 (fundamental period)：
$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$
✅ 解题步骤
第 1 步：分解信号
该信号由两个离散时间正弦信号组成：
- $x_1[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right)$
- $x_2[n] = \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)$
我们需要分别求出它们的周期。
第 2 步：判断第一个信号 $x_1[n]$ 的周期
形式：$x_1[n] = \cos(\omega_0 n)$
条件：周期成立需 $\omega_0 N = 2\pi k$，其中 $k \in \mathbb{Z}$。
代入 $\omega_0 = \frac{\pi}{2}$：
$$
\frac{\pi}{2}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 4k
$$最小正整数解：$N_1 = 4$。
👉 $x_1[n]$ 的基周期为 $N_1 = 4$。
第 3 步：判断第二个信号 $x_2[n]$ 的周期
形式：$x_2[n] = \sin(\omega_0 n)$
条件同样是 $\omega _0 N = 2\pi k$。
代入 $\omega_0 = \frac{2\pi}{3}$：
$$
\frac{2\pi}{3}N = 2\pi k \quad \Rightarrow \quad N = 3k
$$最小正整数解：$N_2 = 3$。
👉 $x_2[n]$ 的基周期为 $N_2 = 3$。
第 4 步：求叠加信号的周期
叠加信号 $x[n] = x_1[n] + x_2[n]$ 的周期 = 两个基周期 $N_1$ 和 $N_2$ 的最小公倍数 (least common multiple, LCM)。
已知 $N_1 = 4$，$N_2 = 3$。
最小公倍数：
$$
N = \text{LCM}(4, 3) = 12
$$
🎯 最终答案
信号
$$
x[n] = \cos\left(\frac{\pi}{2}n\right) + \sin\left(\frac{2\pi}{3}n\right)
$$
是一个 周期信号 (periodic signal)，其基周期为
$$
N = 12
$$
1.4 偶信号与奇信号 (Even and Odd Signals)
偶信号 (Even Signal)
若一个信号满足对称关系：$$
x(t) = x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = x[-n]
$$则称为 偶信号 (even signal)
👉 它关于纵轴 (vertical axis) 对称 (symmetric)。奇信号 (Odd Signal)
若一个信号满足反对称关系：$$
x(t) = -x(-t) \quad \text{或} \quad x[n] = -x[-n]
$$则称为 奇信号 (odd signal)。
👉 它关于原点 (origin) 对称 (anti-symmetric)。
常见例子 (Examples)
偶信号 (Even Signals)：
- 余弦信号 (cosine signal)：$x(t) = \cos(t)$
- 指数对称信号 (symmetric exponential)：$x(t) = e^{-|t|}$
奇信号 (Odd Signals)：
- 正弦信号 (sine signal)：$x(t) = \sin(t)$
- 斜坡信号 (ramp signal)：$x(t) = t$
1.4.1. 一般信号的分解 (Decomposition of a General Signal)
任何信号 (any signal) 都可以分解为 偶信号部分 (even part) 和 奇信号部分 (odd part)：
$$
x(t) = x_e(t) + x_o(t)
$$
其中：
偶信号部分：
$$
x_e(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) + x(-t)\big]
$$奇信号部分：
$$
x_o(t) = \frac{1}{2}\big[x(t) - x(-t)\big]
$$
👉 对离散时间信号同理：
$$
x[n] = x_e[n] + x_o[n]
$$
性质 (Properties)
偶 × 偶 = 偶
奇 × 奇 = 偶
偶 × 奇 = 奇
偶信号与奇信号正交 (orthogonal)：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} x_e(t) , x_o(t) , dt = 0
$$
1.4.2 奇偶信号分解例题
我们把 $x(t)=e^{t}$ 分解为偶/奇两部分。
公式 (Decomposition formulas)
$$
x_e(t)=\tfrac12\big[x(t)+x(-t)\big],\qquad
x_o(t)=\tfrac12\big[x(t)-x(-t)\big].
$$
套用到 $x(t)=e^t$
计算 $x(-t)=e^{-t}$
偶部分 (even part):
$$
x_e(t)=\tfrac12\big(e^t+e^{-t}\big)=\cosh t \quad \text{(hyperbolic cosine)}
$$奇部分 (odd part):
$$
x_o(t)=\tfrac12\big(e^t-e^{-t}\big)=\sinh t \quad \text{(hyperbolic sine)}
$$
验证 (Check)
- $x_e(-t)=\cosh(-t)=\cosh t=x_e(t)$ → 偶 (even)
- $x_o(-t)=\sinh(-t)=-\sinh t=-x_o(t)$ → 奇 (odd)
- 相加：$\cosh t+\sinh t=e^t=x(t)$
答案：
$$
\boxed{x_e(t)=\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}},\qquad
\boxed{x_o(t)=\sinh t=\frac{e^t-e^{-t}}{2}}
$$
1.5 指数信号 (Exponential Signals)
指数信号指的是信号中含有 指数函数 (exponential function) 的形式。它既可以是 连续时间 (continuous-time)，也可以是 离散时间 (discrete-time)。
- 连续时间指数信号 (Continuous-Time Exponential Signal)：
$$
x(t) = A e^{st}, \quad s \in \mathbb{C}
$$
- 离散时间指数信号 (Discrete-Time Exponential Signal)：
$$
x[n] = A \alpha^n, \quad \alpha \in \mathbb{C}
$$
其中：
- $A$：幅度 (amplitude)
- $s = \sigma + j\omega$：复数形式 (complex form)，包含衰减率 (decay rate) $\sigma$ 和角频率 (angular frequency) $\omega$
- $\alpha$：离散指数基底 (exponential base)
1.5.1. 连续时间指数信号的分类 (Continuous-Time Cases)
实指数 (Real Exponential)：
$x(t) = e^{\sigma t}$- 当 $\sigma > 0$：信号随时间增长 (growing exponential)
- 当 $\sigma < 0$：信号随时间衰减 (decaying exponential)
- 当 $\sigma = 0$：信号为常数 (constant signal)
复指数 (Complex Exponential)：
$$
x(t) = e^{(\sigma + j\omega)t} = e^{\sigma t} \cdot e^{j\omega t}
$$根据 欧拉公式 (Euler’s formula)：
$$
e^{j\omega t} = \cos(\omega t) + j\sin(\omega t)
$$所以复指数本质上是 衰减/增长因子 (exponential envelope) 与 正弦信号 (sinusoidal signal) 的组合。
1.5.2. 离散时间指数信号的分类 (Discrete-Time Cases)
实指数 (Real Exponential)：
$$
x[n] = \alpha^n
$$- 如果 $|\alpha| < 1$，则信号随 $n$ 衰减 (decaying)
- 如果 $|\alpha| > 1$，则信号随 $n$ 增长 (growing)
- 如果 $|\alpha| = 1$，则信号振荡 (oscillatory)
复指数 (Complex Exponential)：
$$
x[n] = (re^{j\theta})^n = r^n e^{j\theta n}
$$- 其中 $r^n$：决定幅度 (magnitude) 的增长/衰减
- $e^{j\theta n}$：决定相位 (phase) 和周期性 (periodicity)
👉 特别地：当 $|\alpha|=1$ 且 $\alpha = e^{j\omega_0}$，离散信号就退化为纯粹的正弦信号。
1.5.3. 性质 (Properties)
指数信号是许多系统的特征信号 (eigenfunction)。
- 线性时不变系统 (LTI system) 对指数输入，输出仍是指数形式。
- 这就是为什么傅里叶变换 (Fourier transform) 和拉普拉斯变换 (Laplace transform) 都以指数函数为核心。
稳定性 (stability)
- 连续时间：如果指数部分衰减 ($\sigma < 0$)，信号有界；否则可能发散。
- 离散时间：如果 $|\alpha| < 1$，信号趋于 0；否则可能发散。
图形直观理解 (Intuition with Plots)
- $e^{-t}$：连续时间，随时间指数衰减。
- $(0.5)^n$：离散时间，随着 $n$ 增大而衰减。
- $e^{j\omega t}$：连续时间复指数，其实就是一个旋转的单位向量（对应正弦/余弦）。
1.6 正弦信号 (Sinusoidal Signals)
- 连续时间正弦信号 (Continuous-time sinusoidal signal)
$$
x(t) = A \cos(\omega_0 t + \varphi)
$$
- 离散时间正弦信号 (Discrete-time sinusoidal signal)
$$
x[n] = A \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$
其中：
- $A$：幅度 (amplitude) → 信号的最大值
- $\omega_0$：角频率 (angular frequency)，单位为 rad/s（连续时间）或 rad/sample（离散时间）
- $\varphi$：初始相位 (initial phase)
- $t$ 或 $n$：自变量 (independent variable)
1.6.1. 连续时间正弦信号 (Continuous-time Case)
- 周期 (period)
$$
T = \frac{2\pi}{\omega_0}
$$
- 频率 (frequency)
$$
f = \frac{1}{T} = \frac{\omega_0}{2\pi} \quad \text{单位 Hz}
$$
👉 任何连续时间正弦信号都是 严格周期信号 (strictly periodic signal)。
1.6.2. 离散时间正弦信号 (Discrete-time Case)
离散正弦有一个特殊情况：不是所有离散正弦都是周期信号！
- 周期条件：存在最小正整数 $N$，使得
$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
- 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number) → 信号周期。
- 若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 无理数 (irrational number) → 信号非周期。
👉 基周期：
$$
N = \frac{2\pi k}{\omega_0}, \quad 取最小正整数解
$$
1.6.3. 与复指数的关系 (Relation with Complex Exponential)
利用 欧拉公式 (Euler’s formula)：
$$
e^{j\theta} = \cos\theta + j\sin\theta
$$
我们可以写出：
$$
\cos(\omega_0 t + \varphi) = \frac{1}{2}\Big( e^{j(\omega_0 t + \varphi)} + e^{-j(\omega_0 t + \varphi)} \Big)
$$
👉 所以正弦信号其实是 两个复指数信号的叠加，这也是傅里叶分析的核心。
1.6.4. 图形特性 (Characteristics in Graphs)
- 幅度 (Amplitude) → 控制“高度”
- 周期 (Period) → 控制“宽度”
- 相位 (Phase) → 控制“水平平移”
- 频率 (Frequency) → 控制“快慢”
1.6.5 例题1
判断以下离散时间信号是否为周期信号 (periodic signal)，若是，求出基周期 (fundamental period)：
$$
x[n] = \cos!\left(\frac{\pi}{5}n\right)
$$
✅ 解答步骤
周期条件 (Periodicity condition)
离散正弦信号的一般形式：
$$
x[n] = \cos(\omega_0 n + \varphi)
$$
若 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}$ 是 有理数 (rational number)，则该信号是周期信号。基周期 $N$ 满足：
$$
\omega_0 N = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}
$$
确定角频率 (Angular frequency)
已知：
$$
\omega_0 = \frac{\pi}{5}
$$
套用周期条件
$$
\frac{\pi}{5} N = 2\pi k
$$
两边约去 $\pi$：
$$
\frac{1}{5}N = 2k
$$
$$
N = 10k
$$
最小正整数解
当 $k=1$，有：
$$
N = 10
$$
结论
- $\dfrac{\omega_0}{2\pi} = \dfrac{1}{10}$，是有理数 ✅
- 所以信号是 周期信号 (periodic signal)，基周期为：
$$
N = 10
$$
🎯 最终答案
$$
x[n] = \cos!\left(\tfrac{\pi}{5}n\right) \quad \text{是周期信号，基周期 } N=10
$$
1.6.6 例题2
例子
$$
x[n]=\cos!\big(\pi\sqrt{2},n\big)
$$
离散正弦
$$
x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)
$$
是周期的充要条件：$\dfrac{\omega_0}{2\pi}\in\mathbb{Q}$（有理数 rational）。
- 若存在最小正整数 $N$ 使
$\omega_0 N=2\pi k$（$k\in\mathbb{Z}$），则周期为 $N$。 - 这等价于 $\dfrac{\omega_0}{2\pi}=\dfrac{k}{N}\in\mathbb{Q}$。
应用于本例
$$
\omega_0=\pi\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad
\frac{\omega_0}{2\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}
$$
由于 $\sqrt{2}$ 是无理数 (irrational)，$\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 亦为无理数，因此 不存在 满足条件的整数 $N,k$。
结论：$x[n]=\cos(\pi\sqrt{2},n)$ 是非周期信号 (aperiodic signal)。
更多非周期例子
- $x[n]=\cos(2\pi e,n)$（$e$ 为自然常数，$\dfrac{\omega_0}{2\pi}=e\notin\mathbb{Q}$）
- $x[n]=\cos(2\pi\alpha n)$ 只要 $\alpha\notin\mathbb{Q}$ 即为非周期。
快速判定小抄 (quick checklist)
- 写成 $x[n]=\cos(\omega_0 n+\varphi)$。
- 计算 $\omega_0/(2\pi)$。
- 若为有理数 → 周期；若为无理数 → 非周期。
1.7 离散时间单位脉冲和单位阶越函数
在离散时间系统 (Discrete-Time Systems) 中，单位脉冲序列 (Unit Impulse Sequence) 和 单位阶跃序列 (Unit Step Sequence) 是两类最基本的信号。
离散时间单位脉冲序列 (Discrete-Time Unit Impulse Sequence)：
记作 $\delta[n]$，定义为：
$$
\delta[n] =
\begin{cases}
1, & n = 0 \\
0, & n \neq 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics)
- 只在 $n=0$ 时刻取值为1，其余时刻为0。
- 常被称为 克罗内克函数 (Kronecker Delta)。
- 在离散系统中，用来作为“测试信号 (Test Signal)”，因为它能激发系统的全部动态。
离散时间单位阶跃序列 (Discrete-Time Unit Step Sequence)
记作 $u[n]$，定义为：
$$
u[n] =
\begin{cases}
1, & n \geq 0 \\
0, & n < 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics)
- 表示一个从 $n=0$ 开始持续为1的信号。
- 在实际中表示某个信号从 $n=0$ 时刻开始“开启 (Switch On)”。
脉冲与阶跃的关系 (Relationship Between Impulse and Step)
在离散时间中，脉冲序列和阶跃序列有如下关系：
脉冲是阶跃的差分 (Impulse is the difference of Step):
$$
\delta[n] = u[n] - u[n-1]
$$阶跃是脉冲的累加和 (Step is the sum of Impulses):
$$
u[n] = \sum_{k=-\infty}^n \delta[k]
$$
👉 直观理解：
- 阶跃信号就像是一串“积累的1”；
- 脉冲信号就像是“单位增量 (Unit Increment)”——阶跃从0变到1时，就出现了一个脉冲。
✅ 总结 (Summary)
单位脉冲序列 (Unit Impulse Sequence, $\delta[n]$)：
仅在 $n=0$ 时取1，其余为0。单位阶跃序列 (Unit Step Sequence, $u[n]$)：
从 $n=0$ 开始为1，此后一直为1。关系：
- $\delta[n] = u[n] - u[n-1]$
- $u[n] = \sum_{k=-\infty}^n \delta[k]$
1.8 连续时间单位脉冲和单位阶跃函数
在连续时间系统 (Continuous-Time Systems) 中，单位脉冲函数 (Unit Impulse Function) 和 单位阶跃函数 (Unit Step Function) 是最基础的两个信号。
单位阶跃函数 (Unit Step Function, $u(t)$)
定义：
$$
u(t) =
\begin{cases}
0, & t < 0 \\
1, & t \geq 0
\end{cases}
$$
特点 (Characteristics):
- 在 $t=0$ 时刻从 0 突然跳到 1。
- 代表“开关信号 (Switch Signal)”，例如电源在 $t=0$ 打开。
- 在系统分析中，常用于表示信号从某一时刻开始作用。
单位脉冲函数 (Unit Impulse Function, $\delta(t)$)
单位脉冲是一个理想化 (Idealized) 信号，定义为：
- 几乎处处为0 (Zero everywhere except at $t=0$)；
- 在 $t=0$ 处取无限大 (Infinity at $t=0$)；
- 面积 (Area) 等于 1：
$$
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta(t) , dt = 1
$$
特点 (Characteristics)
- 也称 狄拉克函数 (Dirac Delta Function)。
- 表示一个“瞬时冲击 (Instantaneous Impulse)”或“冲击力 (Impulse Force)”。
- 常用来定义系统的 冲激响应 (Impulse Response, $h(t)$)。
阶跃与脉冲的关系 (Relationship Between Step and Impulse)
它们之间有微积分关系：
- 脉冲是阶跃的导数 (Impulse is the derivative of Step)
$$
\delta(t) = \frac{d}{dt} u(t)
$$
- 阶跃是脉冲的积分 (Step is the integral of Impulse)
$$
u(t) = \int_{-\infty}^t \delta(\tau) , d\tau
$$
👉 直观解释 (Intuitive Explanation)：
- 阶跃函数 $u(t)$ 在 $t=0$ 发生突变，相当于由一个“瞬间冲击 (Impulse)”触发；
- 脉冲函数 $\delta(t)$ 表示那个“突变的瞬间”。
✅ 总结 (Summary)
单位阶跃函数 (Unit Step Function, $u(t)$)：表示一个在 $t=0$ 打开的开关信号。
单位脉冲函数 (Unit Impulse Function, $\delta(t)$)：表示瞬时冲击。
它们的关系：
- $\delta(t) = u’(t)$
- $u(t) = \int \delta(t),dt$
1.9 基本系统性质
1.9.1 记忆系统与无记忆系统
无记忆系统（Memoryless System）
如果一个系统的输出 $y(t)$ 在任意时刻 $t$ 仅仅依赖于输入 $x(t)$ 在同一时刻的值，而不依赖于输入在其他时刻的值，那么该系统就是无记忆系统。数学表达式：
$y(t) = F(x(t))$
只与当前 $x(t)$ 有关。例子：
$y(t) = 3x(t)$
$y(t) = x^2(t)$
它们的输出只依赖于输入当下的值。
记忆系统（System with Memory 或 Memory System）
如果系统的输出 $y(t)$ 在时刻 $t$ 不仅与 $x(t)$ 有关，还依赖于输入信号在其他时刻的值（过去或未来），那么该系统就是记忆系统。数学表达式：
$y(t) = F({x(\tau), \tau \neq t})$
输出依赖于输入在 $t$ 前后某些时刻的值。例子：
- 积分系统：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau$
依赖于 过去所有时刻的输入，所以有记忆。 - 延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-2)$
输出依赖于过去输入（$t-2$ 时刻），所以是记忆系统。
- 积分系统：
离散时间情况下
无记忆系统（Memoryless System）：
$y[n] = F(x[n])$
只依赖于当前时刻的输入。记忆系统（Memory System）：
$y[n] = x[n-1] + x[n]$
输出依赖于当前和过去时刻，因此是记忆系统。
直观理解
- 无记忆系统：系统只“看当前”，不关心过去，也不预测未来。
- 记忆系统：系统会“记住”输入的历史（或者依赖未来），因此需要更多存储或计算。
1.9.2 可逆性与可逆系统
可逆系统（Invertible System）
如果一个系统的输出唯一地决定了输入，也就是说 不同的输入会产生不同的输出，并且我们可以根据输出恢复输入，那么这个系统就是可逆系统。- 数学表达式：
$y(t) = T[x(t)]$
存在一个逆系统（Inverse System） $T^{-1}$，使得：
$x(t) = T^{-1}[y(t)]$
- 数学表达式：
不可逆系统（Non-invertible System）
如果一个系统的输出无法唯一地决定输入，或者有多个不同的输入对应同一个输出，那么该系统就是不可逆系统。
一些例子
可逆系统的例子
缩放系统（Scaling System）：
$y(t) = 2x(t)$
其逆系统为
$x(t) = \frac{1}{2}y(t)$
所以它是可逆的。延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-3)$
其逆系统为
$x(t) = y(t+3)$
所以它是可逆的。
不可逆系统的例子
平方系统（Squaring System）：
$y(t) = [x(t)]^2$
对于同一个 $y(t)=4$，可能 $x(t)=2$ 或 $x(t)=-2$，无法唯一恢复输入，因此不可逆。求和系统（Summation System）：
$y[n] = \sum_{k=-\infty}^n x[k]$
无法从 $y[n]$ 唯一恢复出所有的 $x[n]$，因为信息丢失，所以不可逆。
直观理解
- 可逆系统：信息没有丢失，可以“解密”。
- 不可逆系统：信息部分或完全丢失，无法恢复。
1.9.3 因果性（Causality）
因果系统（Causal System）
如果系统在某一时刻的输出只依赖于 该时刻及其过去的输入值，而不依赖于未来的输入，那么该系统是因果系统。- 数学表达式：
$y(t) = F{x(\tau), \tau \leq t}$
输出只由当前和过去的输入决定。
- 数学表达式：
非因果系统（Non-causal System）
如果系统在某一时刻的输出依赖于输入信号的未来值，那么该系统是非因果系统。- 数学表达式：
$y(t) = F{x(\tau), \tau > t}$
- 数学表达式：
物理实现性（Physical Realizability）
- 实际物理系统（例如电路、通信系统）通常都是 因果的，因为系统不可能提前知道未来的输入。
- 非因果系统更多地出现在数学建模或理论分析中。
例子
因果系统的例子
- 延迟系统（Delay System）：
$y(t) = x(t-2)$
输出依赖于过去的输入（$t-2$），因此是因果的。 - 积分系统（Integration System）：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau),d\tau$
输出依赖于过去所有输入，因此是因果的。
- 延迟系统（Delay System）：
非因果系统的例子
- 提前系统（Advance System）：
$y(t) = x(t+2)$
输出在时刻 $t$ 依赖于未来时刻 $t+2$ 的输入，因此是非因果的。 - 积分未来值系统：
$y(t) = \int_t^{t+5} x(\tau),d\tau$
输出依赖于未来区间的输入，因此是非因果的。
- 提前系统（Advance System）：
直观理解
- 因果系统：只“看过去和现在”，不预测未来，符合现实世界。
- 非因果系统：需要提前知道未来，物理上不可实现，但可以作为数学工具使用。
1.9.4 稳定性（Stability）
在信号与系统中，我们通常关心的是 有界输入–有界输出稳定性（Bounded-Input Bounded-Output Stability，简称 BIBO 稳定性）。
稳定系统（Stable System）
如果一个系统在输入有界（bounded input）的情况下，输出也始终保持有界（bounded output），那么该系统是稳定的。数学表达式：
对任意输入 $x(t)$，如果
$|x(t)| \leq M_x < \infty \quad \forall t$
则有
$|y(t)| \leq M_y < \infty \quad \forall t$不稳定系统（Unstable System）
如果存在某些有界输入，系统的输出会变得无界（无限大），则该系统是不稳定的。
数学条件
连续时间 LTI 系统（Continuous-time Linear Time-Invariant System）
系统由脉冲响应 $h(t)$ 描述。- BIBO 稳定的条件：
$\int_{-\infty}^{+\infty} |h(t)|,dt < \infty$
- BIBO 稳定的条件：
离散时间 LTI 系统（Discrete-time LTI System）
系统由单位脉冲响应 $h[n]$ 描述。- BIBO 稳定的条件：
$\sum_{n=-\infty}^{+\infty} |h[n]| < \infty$
- BIBO 稳定的条件：
例子
稳定系统的例子
系统：
$y(t) = 0.5x(t)$
输入有界，则输出也只是输入的缩放，因此稳定。离散 LTI 系统：
$y[n] = \frac{1}{2}y[n-1] + x[n]$
脉冲响应 $h[n] = (1/2)^n u[n]$，绝对可和，因此稳定。
不稳定系统的例子
系统：
$y(t) = e^t x(t)$
即使 $x(t)$ 有界，$e^t$ 随时间增长到无穷大，输出变得无界，因此不稳定。离散 LTI 系统：
$y[n] = 2y[n-1] + x[n]$
脉冲响应 $h[n] = 2^n u[n]$，不绝对可和，因此不稳定。
直观理解
- 稳定系统：不会“爆炸”，输入如果有限，输出一定有限。
- 不稳定系统：可能“失控”，即使输入有限，输出也可能无限大。
- 现实中的物理系统大多数情况下需要保持稳定，否则会无法使用（比如通信系统、控制系统）。
1.9.5 时不变性
时不变系统（Time-Invariant System）
如果系统的性质不会随时间改变，即输入信号延迟（或提前）一段时间，输出也相应延迟（或提前）相同的时间，而系统本身的响应形式不发生变化，这样的系统称为时不变系统。- 数学表达式：
对任意输入 $x(t)$，系统输出为 $y(t) = T[x(t)]$。
如果对延迟后的输入 $x(t-t_0)$，输出是
$y(t-t_0) = T[x(t-t_0)]$
则该系统为时不变系统。
- 数学表达式：
时变系统（Time-Variant System）
如果系统的性质随时间改变，即使输入延迟，输出不只是简单延迟，而是发生变化，这样的系统是时变系统。
要判断一个系统是否时不变，一般步骤是：
先对输入 $x(t)$ 作用系统，得到输出 $y(t)$；
再将输入延迟 $t_0$，得到 $x(t-t_0)$，通过系统得到新的输出；
最后比较新的输出是否等于原输出的延迟版 $y(t-t_0)$。
- 如果完全相等 → 系统时不变；
- 如果不相等 → 系统时变。
例子
时不变系统的例子
缩放系统：
$y(t) = 2x(t)$
输入延迟 $t_0$ 后输出就是 $2x(t-t_0)$，和原输出延迟一致，因此是时不变系统。延迟系统：
$y(t) = x(t-3)$
如果输入延迟 $t_0$，输出会是 $x((t-t_0)-3) = y(t-t_0)$，因此是时不变系统。
时变系统的例子
乘以时间的系统：
$y(t) = t \cdot x(t)$- 原输出延迟：$y(t-t_0) = (t-t_0)x(t-t_0)$
- 延迟输入后输出：$T[x(t-t_0)] = t \cdot x(t-t_0)$
两者不同，因此是时变系统。
指数加权系统：
$y(t) = e^t x(t)$
系统显式依赖于时间 $t$，所以是时变系统。
直观理解
- 时不变系统：系统的“规则”固定不变，永远一致。例如电阻、电容这种基本元件组成的 LTI 系统。
- 时变系统：系统的“规则”随时间变化，像“环境改变了”一样。例如某些随时间老化的材料系统、时间相关的滤波器。
1.9.6 线性（Linearity）
线性系统（Linear System）
如果一个系统满足 叠加原理（Principle of Superposition），即同时满足 可加性（Additivity） 和 齐次性（Homogeneity，也叫比例性/Scaling），那么该系统称为线性系统。
设系统算子为 $T[\cdot]$，输入信号为 $x_1(t), x_2(t)$，对应输出为 $y_1(t), y_2(t)$。
可加性（Additivity）
$T[x_1(t) + x_2(t)] = T[x_1(t)] + T[x_2(t)]$齐次性 / 比例性（Homogeneity / Scaling）
对任意常数 $a$，有：
$T[a \cdot x_1(t)] = a \cdot T[x_1(t)]$叠加原理（Superposition Principle）
对任意常数 $a, b$，有：
$T[a \cdot x_1(t) + b \cdot x_2(t)] = a \cdot T[x_1(t)] + b \cdot T[x_2(t)]$
如果系统满足上述条件，就是线性系统，否则就是非线性系统（Nonlinear System）。
例子
线性系统的例子
缩放系统：
$y(t) = 3x(t)$
明显满足叠加与比例性，因此是线性系统。积分系统：
$y(t) = \int_{-\infty}^t x(\tau) d\tau$
积分算子是线性的，因此系统是线性的。微分系统：
$y(t) = \frac{d}{dt}x(t)$
微分运算也是线性的。
非线性系统的例子
平方系统：
$y(t) = [x(t)]^2$
不满足叠加性：
$(x_1 + x_2)^2 \neq x_1^2 + x_2^2$
因此是非线性系统。取绝对值系统：
$y(t) = |x(t)|$
不满足比例性（例如 $x(t)=1$，$a=-1$，则 $|-1 \cdot 1| \neq -1 \cdot |1|$）。
直观理解
- 线性系统：输入和输出的关系是“规则的”“可预测的”，不会引入新的频率成分。
- 非线性系统：输入和输出的关系复杂，会产生失真、谐波或混叠。现实中许多系统都是非线性的，但线性模型常用于近似分析。
1.10 能量和功率
在信号与系统中，信号可以分为 能量信号 (Energy Signal) 和 **功率信号 (Power Signal)**。
这两类信号的划分，依赖于信号的 能量 和 平均功率 的定义。
连续时间信号，设信号为 $x(t)$。
(1) 能量 (Energy)
连续时间信号的能量定义为：
$$
E = \int_{-\infty}^{+\infty} |x(t)|^2 , dt
$$
- 如果 $0 < E < \infty$，那么 $x(t)$ 称为 能量信号。
- 例如：有限时间存在的脉冲、有限能量的衰减信号。
(2) 平均功率 (Average Power)
连续时间信号的平均功率定义为：
$$
P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} |x(t)|^2 , dt
$$
- 如果 $0 < P < \infty$ 且能量 $E = \infty$，那么 $x(t)$ 称为 功率信号。
- 例如：周期信号（正弦波、方波等）都是功率信号。
离散时间信号
设信号为 $x[n]$。
(1) 能量 (Energy)
离散时间信号的能量定义为：
$$
E = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} |x[n]|^2
$$
- 如果 $0 < E < \infty$，那么 $x[n]$ 称为 能量信号。
- 例如：有限长序列，或者随时间衰减的序列。
(2) 平均功率 (Average Power)
离散时间信号的平均功率定义为：
$$
P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N+1} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2
$$
- 如果 $0 < P < \infty$ 且能量 $E = \infty$，那么 $x[n]$ 称为 功率信号。
- 例如：周期序列（$x[n] = \cos(\omega_0 n)$）。
信号分类总结
- 能量信号：能量有限，功率为零
- 功率信号：能量无限，功率有限
- 既不是能量信号也不是功率信号：比如指数发散的信号，既没有有限能量，也没有有限功率
例子
连续时间指数衰减信号 $x(t) = e^{-at}u(t), a>0$
$$
E = \int_0^{\infty} e^{-2at} dt = \frac{1}{2a}, \quad P=0
$$→ 能量信号。
正弦信号 $x(t) = \cos(\omega_0 t)$
$$
E = \infty, \quad P = \frac{1}{2}
$$→ 功率信号。
有限长离散序列 $x[n] = (1/2)^n u[n]$
$$
E = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2n} = \frac{1}{1 - (1/4)} = \frac{4}{3}, \quad P = 0
$$→ 能量信号。
离散正弦序列 $x[n] = \cos(\omega_0 n)$
$$
E = \infty, \quad P = \frac{1}{2}
$$→ 功率信号。